Bank Soal Matematika SMP Konsep dan Operasi Bentuk Akar

Diketahui:

$\sqrt[3]{c^2}\times\sqrt[3]{d}=6$ dan $c=\sqrt[6]{8}$

Ditanya:

Nilai dari $\sqrt{dc}$ ?

Dijawab:

Ingat sifat-sifat bentuk akar dan pangkat berikut.

(1) $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

(2) $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

(3) $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$

(4) $\left(a\times b\right)^n=a^n\times b^n$.

$\sqrt[3]{c^2}\times\sqrt[3]{d}=6$

Menggunakan sifat (1) diperoleh

$\Leftrightarrow\ c^{\frac{2}{3}}\times d^{\frac{1}{3}}=6$

$\Leftrightarrow\ \left(c^2\times d^1\right)^{\frac{1}{3}}=6$ (kedua ruas dipangkatkan 3)

$\Leftrightarrow\ \left[\left(c^2d\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{^{^3}}=6^3\ \$

Menggunakan sifat (1) diperoleh

$\Leftrightarrow\ \left(c^2d\right)^{\frac{1}{3}^{\times3}}=6^3\$

$\Leftrightarrow\ c^2d=6^3\$

$\Leftrightarrow d=\frac{6^3}{c^2}\$ (persamaan 1)

Dari pertanyaan diketahui bahwa $c=\sqrt[6]{8}$ , maka $c=8^{\frac{1}{6}}=\left(2^3\right)^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}$.

Untuk menemukan nilai $\sqrt{dc}$, kita dapat melakukan subtitusi persamaan 1 dan $c=2^{\frac{1}{2}}$, sehingga didapat

$\sqrt{dc}=\sqrt{\frac{6^3}{c^2}.c}$

$=\sqrt{\frac{6^3}{c}}$

$=\sqrt{\frac{6^3}{2^{\frac{1}{2}}}}$

Menggunakan sifat (2) diperoleh

$=\sqrt{\frac{\left(2\times3\right)^3}{2^{\frac{1}{2}}}}$

$=\sqrt{\frac{2^3\times3^3}{2^{\frac{1}{2}}}}$

Menggunakan sifat (3) diperoleh

$=\sqrt{2^{3-\frac{1}{2}}\times3^3}$

$=\sqrt{2^{\frac{6-1}{2}}\times3^3}$

$=\sqrt{2^{\frac{5}{2}}\times3^3}$

$=\sqrt{2^{\frac{5}{2}}\times3^{^{\frac{6}{2}}}}$

Menggunakan sifat (1) diperoleh

$=\left(2^{\frac{5}{2}}\times3^{^{\frac{6}{2}}}\right)^{^{\frac{1}{2}}}$

$=\left(\left(2^5\times3^{^6}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{^{\frac{1}{2}}}$

$=\left(2^5\times3^{^6}\right)^{^{\frac{1}{4}}}$

$=\left(2^4\times2\times3^4\times3^2\right)^{^{\frac{1}{4}}}$

$=\left(2^4\times3^4\right)^{^{\frac{1}{4}}}\left(2\times3^2\right)^{\frac{1}{4}}$

$=\left(2^{4\times\frac{1}{4}}\times3^{\frac{1}{4}}\right)\left(2\times3^2\right)^{\frac{1}{4}}$

$=\left(2\times3\right)\left(2\times3^2\right)^{\frac{1}{4}}$

$=6\left(2\times3\times3\right)^{\frac{1}{4}}$

$=6\left(18\right)^{\frac{1}{4}}$

$=6\sqrt[4]{18}$

Jadi, nilai dari $\sqrt{dc}$ adalah $6\sqrt[4]{18}$.