Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Soal

Pilgan

Diberikan P(n) : n2>2n1P\left(n\right)\ :\ n^2>2n-1 dan pernyataan-pernyataan berikut ini:

  1. P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap n1n\ge1
  2. P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap nn bilangan bulat
  3. P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap n2n\ge2
  4. P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap nn bilangan real

Pernyataan yang benar adalah ....

A

pernyataan nomor 1

B

pernyataan nomor 2

C

pernyataan nomor 3

D

pernyataan nomor 4

E

tidak ada pernyataan yang benar

Pembahasan:

Diberikan P(n) : n2>2n1P\left(n\right)\ :\ n^2>2n-1.

Untuk n=1n=1 diperoleh P(1)P\left(1\right) yaitu

n2=12=11=2.11=2n1n^2=1^2=1\ngtr 1 = 2.1-1=2n-1

Artinya P(n)P\left(n\right) tidak benar untuk n=1n=1.

Selanjutnya, untuk setiap n2n\ge2 akan dibuktikan kebenaran dari P(n)P\left(n\right) dengan menggunakan induksi matematika.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

  1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=an=a, dengan aa bilangan asli terkecil yang memenuhi S(n)S\left(n\right).
  2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=kn=k, kemudian akan dibuktikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=k+1n=k+1.


Sebelum dilakukan pembuktian, perlu diingat sifat operasi aljabar berikut:

sifat transitif

Untuk sembarang bilangan a, b,a,\ b, dan cc berlaku a>b>ca>ca>b>c\Leftrightarrow a>c


Langkah-langkah pembuktian tersebut adalah

Basis induksi:

Akan dibuktikan P(n)P\left(n\right) benar untuk n=2n=2

Diperhatikan bahwa

22=4>3=2.212^2=4>3=2.2-1

Artinya, terbukti bahwa P(n)P\left(n\right) benar untuk n=2n=2

Langkah induksi:

Diandaikan P(n)P\left(n\right) benar untuk n=kn=k, yaitu

k2>2k1k^2>2k-1 .

Akan dibuktikan P(n)P\left(n\right) benar untuk n=k+1n=k+1, yaitu akan dibuktikan benar bahwa

(k+1)2>2(k+1)1\left(k+1\right)^2>2(k+1)-1

Diperhatikan bahwa

(k+1)2=k2+2k+1(k+1)^2=k^2+2k+1

telah diandaikan bahwa k2>2k1k^2>2k-1, sehingga

(k+1)2=k2+2k+1>(2k1)+2k+1(k+1)^2=k^2+2k+1>(2k-1)+2k+1

diperoleh

(k+1)2>(2k1)+2k+1(k+1)^2>(2k-1)+2k+1

nilai kk berupa bilangan asli (k1k\ge1) sehingga

2k12.11=1>02k-1\ge2.1-1=1>0 atau 2k12k-1 bernilai positif.

Perlu diingat bahwa suatu bilangan jika ditambah dengan bilangan positif maka nilainya akan semakin besar. Oleh karena itu (2k1)+2k+1>2k+1\left(2k-1\right)+2k+1>2k+1, sehingga

(k+1)2>(2k1)+2k+1>2k+1\left(k+1\right)^2>\left(2k-1\right)+2k+1>2k+1

berdasarkan sifat transitif berlaku

(k+1)2>2k+1\left(k+1\right)^2>2k+1

(k+1)2>2k+21\left(k+1\right)^2>2k+2-1

(k+1)2>2(k+1)1\left(k+1\right)^2>2\left(k+1\right)-1

Artinya, terbukti bahwa P(n)P\left(n\right) benar untuk n=k+1n=k+1.

Oleh karena itu, berdasarkan induksi matematika, ketidaksamaan P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap bilangan asli n2n\ge2 .

Jadi, pernyataan yang benar pada beberapa pernyataan yang tersedia adalah P(n)P\left(n\right) benar untuk setiap n2n\geq 2

Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal