Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Soal

Pilgan

Diberikan vektor posisi a=2x+2y+z\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}, b=mx+4y+nz\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{x}+4\overrightarrow{y}+n\overrightarrow{z}, dan c=4x2y+7z\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z} dari titik A, B,A,\ B, dan CC terhadap titik awal OO. Jika A, B,A,\ B, dan CC segaris (kolinear), maka nilai mm dan nn berturut-turut adalah ....

A

1 dan 2

B

2 dan 1

C

1 dan -2

D

-1 dan 2

E

-2 dan 1

Pembahasan:

Diketahui:

a=2x+2y+z a=(2, 2, 1)\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(2,\ 2,\ 1\right)

b=mx+4y+nz b=(m, 4, n)\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{x}+4\overrightarrow{y}+n\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(m,\ 4,\ n\right)

c=4x2y+7z c=(4, 2, 7)\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(4,\ -2,\ 7\right)

A, B, CA,\ B,\ C segaris (kolinear)

Ditanya:

m=?m=?

n=?n=?

Jawab:

Jika tiga buah titik A, B,A,\ B, dan CC segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

AB=k  BC\overrightarrow{AB}=k\ \cdot\ \overrightarrow{BC}

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

AB=BA=ba\overrightarrow{AB}=B-A=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}

 AB=(m, 4, n)(2, 2, 1)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(m,\ 4,\ n\right)-\left(2,\ 2,\ 1\right)

 AB=((m2), (42), (n1))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(m-2\right),\ \left(4-2\right),\ \left(n-1\right)\right)

 AB=((m2), 2, (n1))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)

BC=CB=cb\overrightarrow{BC}=C-B=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}

 BC=(4, 2, 7)(m, 4, n)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(4,\ -2,\ 7\right)-\left(m,\ 4,\ n\right)

 BC=((4m), (24), (7n))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(4-m\right),\ \left(-2-4\right),\ \left(7-n\right)\right)

 BC=((4m), 6, (7n))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(4-m\right),\ -6,\ \left(7-n\right)\right)

Dengan demikian,

AB=kBC\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}

 ((m2), 2, (n1))=k((4m), 6, (7n))\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=k\cdot\left(\left(4-m\right),\ -6,\ \left(7-n\right)\right)

 ((m2), 2, (n1))=((4m)k, 6k, (7n)k)\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)k,\ -6k,\ \left(7-n\right)k\right)

Perhatikan suku-suku yang bersesuaian sehingga diperoleh

2=6k  k=26k=132=-6k\ \Leftrightarrow\ k=-\frac{2}{6}\Leftrightarrow k=-\frac{1}{3}

Substitusi k=13k=-\frac{1}{3} sehingga

 ((m2), 2, (n1))=((4m)(13), 6(13), (7n)(13))\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right),\ -6\left(-\frac{1}{3}\right),\ \left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\right)

 ((m2), 2, (n1))=((4m)(13), 2, (7n)(13))\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right),\ 2,\ \left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\right) maka

m2=(4m)(13)m-2=\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right)

 m2=43+13m\Leftrightarrow\ m-2=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}m

 m13m=43+2\Leftrightarrow\ m-\frac{1}{3}m=-\frac{4}{3}+2

23m=4+63\Leftrightarrow\frac{2}{3}m=\frac{-4+6}{3}

23m=23\Leftrightarrow\frac{2}{3}m=\frac{2}{3}

m=1\Leftrightarrow m=1

n1=(7n)(13)n-1=\left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)

 n1=73+13n\Leftrightarrow\ n-1=-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}n

 n13n=73+1\Leftrightarrow\ n-\frac{1}{3}n=-\frac{7}{3}+1

 23n=7+33\Leftrightarrow\ \frac{2}{3}n=\frac{-7+3}{3}

 2n=7+3\Leftrightarrow\ 2n=-7+3

 2n=4\Leftrightarrow\ 2n=-4

 n=2\Leftrightarrow\ n=-2

Jadi, nilai mm dan nn berturut-turut adalah 1 dan -2.

Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal