Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Soal

Pilgan

Nilai dari sinus sudut yang dibentuk oleh vektor u=(2, 0, 4)\vec{u}=\left(-2,\ 0,\ 4\right) dan v=(2, 2, 1)\vec{v}=\left(-2,\ 2,\ 1\right) adalah ....

A

00

B

12295-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{29}{5}}

C

12295\frac{1}{2}\sqrt{\frac{29}{5}}

D

13295-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{29}{5}}

E

13295\frac{1}{3}\sqrt{\frac{29}{5}}

Pembahasan:

Diketahui:

Vektor u=(2, 0, 4)\vec{u}=\left(-2,\ 0,\ 4\right) dan v=(2, 2, 1)\vec{v}=\left(-2,\ 2,\ 1\right)

Ditanya:

Nilai dari sinus sudut yang dibentuk oleh vektor u\vec{u} dan v\vec{v}

Jawab:

Dimisalkan sudut yang dibentuk oleh vektor u\vec{u} dan v\vec{v} adalah θ\theta. Perlu diingat definisi perkalian skalar sembarang vektor p\vec{p} dan q\vec{q} yaitu

pq=pqcosθ\vec{p}\cdot\vec{q}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|\cos\theta

dengan θ\theta adalah sudut yang diapit oleh vektor p\vec{p} dan q\vec{q}. Dengan kata lain

cosθ=pqpq\cos\theta=\frac{\vec{p}\cdot\vec{q}}{\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|}

Perlu diingat pula bahwa perkalian skalar antara vektor a=a1i+a2j+a3k\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k} dan b=b1i+b2j+b3k\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} juga didefinisikan sebagai

ab=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

Berdasarkan yang diketahui pada soal, didapat

uv=(2, 0, 4)(2, 2, 1)\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(-2,\ 0,\ 4\right)\cdot\left(-2,\ 2,\ 1\right)

uv=(2)(2)+0.2+4.1\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(-2\right)\left(-2\right)+0.2+4.1

uv=4+0+4\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=4+0+4

uv=8\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=8

Selain itu, secara umum sembarang vektor p=xi+yj+zk\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}  memiliki panjang p=x2+y2+z2\left|\vec{p}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} sehingga

u=(2)2+02+42\left|\vec{u}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+0^2+4^2}

u=4+0+16\Leftrightarrow\left|\vec{u}\right|=\sqrt{4+0+16}

u=20\Leftrightarrow\left|\vec{u}\right|=\sqrt{20}

u=25\Leftrightarrow\left|\vec{u}\right|=2\sqrt{5}

dan

v=(2)2+22+12\left|\vec{v}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2+1^2}

v=4+4+1\Leftrightarrow\left|\vec{v}\right|=\sqrt{4+4+1}

v=9\Leftrightarrow\left|\vec{v}\right|=\sqrt{9}

v=3\Leftrightarrow\left|\vec{v}\right|=3

Dengan demikian diperoleh

cosθ=uvuv\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}

cosθ=825.3\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{8}{2\sqrt{5}.3}

cosθ=435\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{4}{3\sqrt{5}}

Selanjutnya, menggunakan identitas Pythagoras pada trigonometri yaitu sinθ=1cos2θ\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} diperoleh

sinθ=1cos2θ\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}

sinθ=1(435)2\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)^2}

sinθ=1169.5\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{1-\frac{16}{9.5}}

sinθ=11645\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{1-\frac{16}{45}}

sinθ=45451645\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{\frac{45}{45}-\frac{16}{45}}

sinθ=2945\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{\frac{29}{45}}

sinθ=19295\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{\frac{1}{9}\frac{29}{5}}

sinθ=19295\Leftrightarrow\sin\theta=\sqrt{\frac{1}{9}}\sqrt{\frac{29}{5}}

sinθ=19295\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}\sqrt{\frac{29}{5}}

sinθ=13295\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{29}{5}}

Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal