Bank Soal Matematika SMA Peluang Kejadian Majemuk

Diketahui:

A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas tetapi tidak saling lepas

$P\left(A\right)\ =\ \frac{1}{2020}$

$P\left(B\right)=\frac{1}{1010}$

Ditanya:

$P\left(B\right)$ ?

Dijawab:

Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang tidak saling lepas. Diperoleh

$P\left(A\ \cup B\right)\ =\ P\left(A\right)\ +\ P\left(B\right)-P\left(A\ \cap B\right)$

Untuk gabungan dua himpunan dikenal adanya dua himpunan saling lepas dan dua himpunan saling bebas.

Dua himpunan dikatakan saling lepas jika dua himpunan tersebut tidak memiliki irisan. Dengan kata lain $A\ \cap B\ =\ \varnothing$ sehingga $P\left(A\ \cap B\right)\ =\ 0$

Untuk dua himpunan yang saling lepas berlaku

$P\left(A\ \cup B\right)\ =P\left(A\right)+P\left(B\right)$

Dua himpunan dikatakan saling bebas jika dua himpunan tersebut tidak saling mempengaruhi.

Untuk dua himpunan saling bebas berlaku

$P\left(A\cap B\right)\ =\ P\left(A\right)\ \cdot P\left(B\right)$

Karena kedua kejadian tersebut saling bebas, maka

$P\left(A\cap B\right)\ =\ P\left(A\right)\ \cdot P\left(B\right)$

Karena kedua kejadian tersebut tidak saling lepas, maka

$P\left(A\ \cup B\right)\ =\ P\left(A\right)\ +\ P\left(B\right)-P\left(A\ \cap B\right)$

Akibatnya,

$P\left(A\cup B\right)\ =P\left(A\right)\ +\ P\left(B\right)\ -\ P\left(A\right)\ \cdot P\left(B\right)$

$\frac{1}{1010}=\frac{1}{2020}+P\left(B\right)-\frac{1}{2020}P\left(B\right)$

$\frac{1}{1010}-\frac{1}{2020}=\left(1-\frac{1}{2020}\right)P\left(B\right)$

$\frac{2-1}{2020}=\frac{2020-1}{2020}P\left(B\right)$

$\frac{1}{2020}=\frac{2019}{2020}P\left(B\right)$ $$

$P\left(B\right)\ =\ \frac{1}{2020}\times\frac{2020}{2019}=\frac{1}{2019}$