Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

$f\left(x\right)=\frac{ax+2}{2x-1}$

$g\left(x\right)=x+1$

$\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(2\right)=4$

Ditanya:

$5a=?$

Jawab:

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Diketahui $\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(2\right)=4$ maka

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(2\right)=4$

Selanjutnya, perlu diingat sifat fungsi invers berikut.

Jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Sehingga diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(4\right)=2$

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Sehingga diperoleh

$f\left(g\left(4\right)\right)=2$

Karena $g\left(x\right)=x+1$ maka

$g\left(4\right)=4+1=5$

Sehingga diperoleh

$f\left(5\right)=2$

Karena $f\left(x\right)=\frac{ax+2}{2x-1}$ maka

$\Leftrightarrow\frac{a\left(5\right)+2}{2\left(5\right)-1}=2$

$\Leftrightarrow\frac{5a+2}{10-1}=2$

$\Leftrightarrow\frac{5a+2}{9}=2$

Kalikan kedua ruas dengan 9

$\Leftrightarrow5a+2=18$

$\Leftrightarrow5a=16$

Jadi, nilai $5a$ adalah 16.