Bank Soal Matematika SMA Fungsi-Fungsi Khusus

Diketahui:

Fungsi identitas $f$ dengan domain { $x\mid-2\le x\le7,x\in$ R }

Ditanya:

Range dari $f\left(|x|\right)$ $=?$

Jawab:

Untuk sembarang himpunan tak kosong $A$, fungsi identitas $f:A\rightarrow A$ adalah fungsi yang memetakan setiap anggota $A$ ke dirinya sendiri atau dinotasikan dengan $f\left(x\right)=x$.

Pada soal diberikan himpunan { $x\mid-2\le x\le7,x\in$ R }. Dimisalkan himpunan tersebut adalah himpunan $A$. Selanjutnya dibentuk himpunan $B=$ { $\left|x\right|\mid x\ \in A$ }.

Perlu diingat definisi modulus atau nilai mutlak dari sembarang bilangan real $x$, yaitu

$\left|x\right|=x,$ jika $x\ge0$

$\left|x\right|=-x$, jika $x<0$

Pada himpunan $A$ = { $x\mid-2\le x\le7,x\in$ R }, nilai $x$ dapat dibagi menjadi dua yaitu $-2\ \le x<0$ dan  $0\le x\le7$

Untuk $-2\le x<0$ berlaku $0<\left|x\right|\le2$

Untuk $0\le x\le7$ berlaku $0\le\left|x\right|\le7$

Artinya himpunan $B$ berupa

$B=\left\{\left|x\right|\mid x\in A\right\}$

$B=\left\{0\le\left|x\right|\le2\right\}\cup\left\{0<\left|x\right|\le7\right\}$

$B=\left\{0\le\left|x\right|\le7\right\}$

Akan dicari range dari $f\left(\left|x\right|\right)$. Diperhatikan bahwa untuk setiap $x\in A$ berlaku $\left|x\right|\in B$ dan $f$ merupakan fungsi identitas, sehingga setiap anggota $B$ dipetakan ke dirinya sendiri. Akibatnya, range dari $f\left(\left|x\right|\right)$

adalah $B=\left\{0\le\left|x\right|\le7\right\}$ atau dapat pula ditulis menjadi { $x\mid0\le x\le7,\ x\in$ R }.

Jadi, range dari $f\left(|x|\right)$ adalah { $x\mid0\le x\le7,\ x\in$ R }.