Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Keterbagian

Soal

Pilgan

Dengan induksi matematika, jumlahan tiga bilangan asli berturutan habis dibagi ....

A

2

B

3

C

4

D

5

E

6

Pembahasan:

Dimisalkan nn suatu bilangan asli dengan n1n\ge1, sehingga tiga bilangan berturutan tersebut adalah n, n+1, n+2n,\ n+1,\ n+2.

Dimisalkan P(n)P\left(n\right) menyatakan bahwa

n+(n+1)+(n+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right) habis dibagi suatu bilangan bulat cc untuk setiap bilangan asli nn.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

  1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=an=a, dengan aa bilangan asli terkecil yang memenuhi S(n)S\left(n\right).
  2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=kn=k, kemudian akan dibuktikan S(n)S\left(n\right) benar untuk n=k+1n=k+1.

Akan dicari nilai cc yang tepat dengan menggunakan induksi matematika.

Tahap pertama, basis induksi:

Karena P(n)P\left(n\right) berlaku untuk setiap bilangan asli nn, maka nn dimulai dari 1.

Untuk n=1n=1 diperoleh

n+(n+1)+(n+2)=1+(1+1)+(1+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)

n+(n+1)+(n+2)=1+2+3n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=1+2+3

n+(n+1)+(n+2)=6n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=6

Tahap kedua, langkah induksi:

Diandaikan P(n)P\left(n\right) benar untuk n=kn=k, artinya

n+(n+1)+(n+2)=k+(k+1)+(k+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+\left(k+1\right)+\left(k+2\right)

n+(n+1)+(n+2)=k+k+1+k+2n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+1+k+2

n+(n+1)+(n+2)=k+k+k+1+2n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+k+1+2

n+(n+1)+(n+2)=3k+3n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=3k+3

Kemudian akan dibuktikan P(n)P\left(n\right) benar untuk n=k+1n=k+1, artinya

n+(n+1)+(n+2)=(k+1)+((k+1)+1)+((k+1)+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(\left(k+1\right)+1\right)+\left(\left(k+1\right)+2\right)

n+(n+1)+(n+2)=(k+1)+(k+1+1)+(k+1+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(k+1+1\right)+\left(k+1+2\right)

n+(n+1)+(n+2)=(k+1)+(k+2)+(k+3)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(k+2\right)+\left(k+3\right)

n+(n+1)+(n+2)=k+1+k+2+k+3n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+1+k+2+k+3

n+(n+1)+(n+2)=k+k+k+1+2+3n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+k+1+2+3

n+(n+1)+(n+2)=3k+6n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=3k+6

Diperoleh

untuk n=1n=1 berlaku 6=3.26=3.2

untuk n=kn=k berlaku 3k+3=3(k+1)3k+3=3\left(k+1\right)

untuk n=k+1n=k+1 berlaku 3k+6=3(k+2)3k+6=3\left(k+2\right)

yang ketiganya habis dibagi 33

Dengan kata lain c=3c=3, yaitu

n+(n+1)+(n+2)n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right) habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli nn.

Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bab 5 | Bangun Datar | Matematika | Kelas 4

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal