Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Keterbagian

Dimisalkan $n$ suatu bilangan asli dengan $n\ge1$, sehingga tiga bilangan berturutan tersebut adalah $n,\ n+1,\ n+2$.

Dimisalkan $P\left(n\right)$ menyatakan bahwa

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)$ habis dibagi suatu bilangan bulat $c$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Akan dicari nilai $c$ yang tepat dengan menggunakan induksi matematika.

Tahap pertama, basis induksi:

Karena $P\left(n\right)$ berlaku untuk setiap bilangan asli $n$, maka $n$ dimulai dari 1.

Untuk $n=1$ diperoleh

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=1+2+3$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=6$

Tahap kedua, langkah induksi:

Diandaikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, artinya

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+\left(k+1\right)+\left(k+2\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+1+k+2$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+k+1+2$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=3k+3$

Kemudian akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$, artinya

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(\left(k+1\right)+1\right)+\left(\left(k+1\right)+2\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(k+1+1\right)+\left(k+1+2\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=\left(k+1\right)+\left(k+2\right)+\left(k+3\right)$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+1+k+2+k+3$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=k+k+k+1+2+3$

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)=3k+6$

Diperoleh

untuk $n=1$ berlaku $6=3.2$

untuk $n=k$ berlaku $3k+3=3\left(k+1\right)$

untuk $n=k+1$ berlaku $3k+6=3\left(k+2\right)$

yang ketiganya habis dibagi $3$

Dengan kata lain $c=3$, yaitu

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)$ habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli $n$.