Bank Soal Matematika SMP Sumbu Simetri dan Diskriminan

Diketahui:

Fungsi kuadrat $f\left(x\right)$ memiliki sumbu simetri $x=-1$

Grafiknya melalui (6, 20) dan (-2, -4).

Ditanya:

Nilai minimum fungsi kuadrat tersebut?

Dijawab:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ melalui (6, 20) dan (-2, -4)

Nilai $a,\ b$ dapat dicari dengan mensubstitusi koordinat titik tersebut ke $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ .

$f\left(6\right)=a\left(6\right)^2+b\left(6\right)+c=20$

$36a+6b+c=20$ ....(1)

$f\left(-2\right)=a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+c=-4$

$4a-2b+c=-4$ ....(2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2)

$36a+6b+c=20$

$\underline{4a-2b+c=-4}\ -$

$32a+8b=24$ (bagi kedua ruas dengan 8)

$4a+b=3$ ....(3)

Pada fungsi kuadrat $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ , persamaan sumbu simetrinya adalah $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sumbu simetri $x=-1$

$-\frac{b}{2a}=-1$

$b=2a$ ....(4)

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3)

$4a+b=3$

$\Leftrightarrow4a+2a=3$

$\Leftrightarrow6a=3$

$\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$

Substitusikan $a=\frac{1}{2}$ ke persamaan (4) sehingga

$b=2\left(\frac{1}{2}\right)=1$

Selanjutnya, substitusikan $a=\frac{1}{2}$ dan $b=1$ ke persamaan (1) sehingga

$36\left(\frac{1}{2}\right)+6\left(1\right)+c=20$

$c=-4$

Dengan demikian fungsi kuadrat tersebut adalah $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+x-4$

Nilai minimum $=f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

$=f\left(-1\right)$

$=\frac{1}{2}\left(-1\right)^2-1-4$

$=\frac{1}{2}-1-4$

$=\frac{1}{2}-5$

$=-4,5$

Jadi, nilai minimum fungsi kuadrat tersebut adalah -4,5.