Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Solusi dari pertidaksamaan $\frac{x-4}{x^2-4}<1$ adalah ....

E

$-2<x<2$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x-4}{x^2-4}<1$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
Menyamakan penyebut
Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$ . Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x-4}{x^2-4}<1$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x-4}{x^2-4}-1<0$

⇔ $\frac{x-4-\left(x^2-4\right)}{x^2-4}<0$

⇔ $\frac{x-4-x^2+4}{x^2-4}<0$

⇔ $\frac{x-x^2}{x^2-4}<0$

Agar suku $x^2$ menjadi positif, kita kalikan kedua ruas dengan $-1$ .

⇔ $\frac{x^2-x}{x^2-4}>0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), diketahui $f\left(x\right)=x^2-x,\ g\left(x\right)=x^2-4$ .

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-x=0$

⇔ $x\left(x-1\right)=0$

$x=0$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-4=0$

⇔ $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x-2=0$ ⇔ $x=2$ atau

$x+2=0$ ⇔ $x=-2$

Totalnya, ada empat nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ . Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari keempat titik pembuat nol tersebut. Nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $>$ , kita cari hasil yang positif.

Pembuktian:

Untuk rentang $x>2$ , kita gunakan $x=3$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{3^2-3}{3^2-4}>0$

⇔ $\frac{9-3}{9-4}>0$

⇔ $\frac{6}{5}>0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang tersebut memang menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $x<-2,\ 0<x<1,$ atau $x>2$ .