Bank Soal Matematika SMA Operasi Komposisi pada Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f=\left\{\left(1,3\right),\ \left(2,4\right),\ \left(3,5\right),\ \left(4,6\right)\right\}$ dan $g=\{(3,4),\ (4,6),\ (5,8),\ (6,10)\}$.

Ditanya:

Domain dari $(g\circ f)=?$

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Range fungsi $f\circ g$ ditulis dengan $R_{f\circ g}$ yaitu

$R_{f\circ g}=\left\{y\in R_f\mid f(g(x))=y,\ x\in D_g\right\}$ .

dengan

$D_g=$ domain fungsi $g$

$D_f=$ domain fungsi $f$

$R_{f\circ g}=$ range fungsi $f\circ g$

$R_g=$ range fungsi $g$

$R_f=$ range fungsi $f$.

Pada soal diketahui $f=\left\{\left(1,3\right),\ \left(2,4\right),\ \left(3,5\right),\ \left(4,6\right)\right\}$, sehingga

$D_f=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4\right\}$ dan $R_f=\left\{3,\ 4,\ 5,\ 6\right\}$.

Diketahui pula $g=\{(3,4),\ (4,6),\ (5,8),\ (6,10)\}$, sehingga

$D_g=\left\{3,\ 4,\ 5,\ 6\right\}$ $R_g=\left\{4,\ 6,\ 8,\ 10\right\}$.

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, diperoleh range komposisi fungsi $g\circ f$ adalah

$R_{g\circ f}=\left\{y\in R_g\mid g(f(x))=y,\ x\in D_f\right\}$

$\Leftrightarrow R_{g\circ f}=\left\{y\in\left\{4,\ 6,\ 8,\ 10\right\}\mid g(f(x))=y,\ x\in\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4\right\}\right\}$

Diperhatikan

untuk $x=1$, maka $g\left(f\left(1\right)\right)=g\left(3\right)=4\in R_g$

untuk $x=2$, maka $g\left(f\left(2\right)\right)=g\left(4\right)=6\in R_g$

untuk $x=3$, maka $g\left(f\left(3\right)\right)=g\left(5\right)=8\in R_g$

untuk $x=4$ , maka $g\left(f\left(4\right)\right)=g\left(6\right)=10\in R_g$

Jadi range komposisi fungsi $g\circ f$ adalah $\left\{4,\ 6,\ 8,\ 10\right\}$