Bank Soal Matematika SMA Integral Substitusi

Diketahui:

$\int5\sqrt{(3-2x)^3}dx=-f(x)\sqrt{2-3x}+C$

Ditanya:

$f\left(x\right)=?$

Jawab:

Misalkan:

$u=3-2x$

$\Leftrightarrow du=-2dx$

$\Leftrightarrow dx=-\frac{du}{2}$

Sehingga menjadi:

$\int5\sqrt{(3-2x)^3}dx$

$=\int5\sqrt{u^3}(-\frac{du}{2})$; ingat bahwa $\sqrt{x^n}=x^{\frac{n}{2}}$

$=\int-\frac{5}{2}u^{\frac{3}{2}}du$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int5\sqrt{(3-2x)^3}dx$

$=\int-\frac{5}{2}u^{\frac{3}{2}}du$

$=-\frac{5}{2(\frac{3}{2}+1)}u^{(\frac{3}{2}+1)}+C$

$=-\frac{5}{2(\frac{5}{2})}u^{\frac{5}{2}}+C$

$=-u^{\frac{5}{2}}+C$

pangkat pecahan biasa dari $u^{\frac{5}{2}}$ diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi $u^{\frac{5}{2}}=u^{2\frac{1}{2}}=u^2u^{\frac{1}{2}}$ sehingga:

$=-u^2u^{\frac{1}{2}}+C$; ingat bahwa $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

$=-u^2\sqrt{u}+C$

$=-(3-2x)^2\sqrt{3-2x}+C$

DIketahui bahwa:

$\int5\sqrt{(3-2x)^3}dx=-f(x)\sqrt{2-3x}+C$

$-(3-2x)^2\sqrt{3-2x}+C=-f(x)\sqrt{2-3x}+C$

Maka:

$(3-2x)^2=f(x)$

Jadi, $f(x)$ adalah $(3-2x)^2$.