Bank Soal Matematika SMP Menyusun Persamaan Kuadrat

Diketahui:

$\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $x^2-5x-9$

akar persamaan kuadrat baru: $\left(2-\alpha\right)$ dan $\left(2-\beta\right)$

Ditanya:

Persamaan kuadrat baru?

Dijawab:

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat awal adalah sebagai berikut.

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
3. Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka persamaan kuadrat barunya adalah $x^2-\left(m+n\right)x+mn=0$

Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal

Persamaan kuadrat awal: $x^2-5x-9$

Akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$

Maka, jumlah akar-akar persamaan kuadrat awal adalah

$\alpha+\beta=\frac{-b}{a}=\frac{-\left(-5\right)}{1}=5$

Sedangkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal adalah

$\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{-9}{1}=-9$

Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $\left(2-\alpha\right)$ dan $\left(2-\beta\right)$

Misalkan $m=2-\alpha$ dan $n=2-\beta$

Maka, jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

$m+n=\left(2-\alpha\right)+\left(2-\beta\right)$

$=4-\alpha-\beta$

$=4-\left(\alpha+\beta\right)$

$=4-5=-1$

Sedangkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

$mn=\left(2-\alpha\right)\left(2-\beta\right)$

$=4-2\alpha-2\beta+\alpha\beta$

$=4-2\left(\alpha+\beta\right)+\alpha\beta$

$=4-2\left(5\right)+\left(-9\right)$

$=4-10-9$

$=-15$

Susun persamaan kuadrat baru

Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat baru, maka persamaan kuadrat barunya adalah

$x^2-\left(m+n\right)x+mn=0$

$\Leftrightarrow x^2-\left(-1\right)x+\left(-15\right)=0$

$\Leftrightarrow x^2+x-15=0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $\left(2-\alpha\right)$ dan $\left(2-\beta\right)$ adalah $x^2+x-15=0$.