Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Menentukan kuadran yang bersesuaian

$\left(180\degree+\beta\right)$ merupakan sudut yang berada pada kuadran III

$\left(90\degree+\beta\right)$ merupakan sudut yang berada pada kuadran II

Relasi sudut di kuadran III

Pada relasi $\theta$ dengan $\left(180\degree+\theta\right)$ diketahui bahwa

$\operatorname{cosec}\left(180\degree+\beta\right)=-\operatorname{cosec}\beta$

$\sec\left(180\degree+\beta\right)=-\sec\beta$

Relasi $\theta$ dengan $\left(-\theta\right)$

diketahui bahwa

$\cos\left(-\beta\right)=\cos\beta$

Relasi sudut di kuadran II

Pada relasi $\theta$ dengan $\left(90\degree+\beta\right)$ diketahui bahwa

$\cos\left(90\degree+\beta\right)=-\sin\beta$

Substitusikan nilai sudut

$\frac{\operatorname{cosec}\left(180\degree+\beta\right)}{\sec\left(180\degree+\beta\right)}\times\frac{\cos\left(-\beta\right)}{\cos\left(90\degree+\beta\right)}=\frac{-\operatorname{cosec}\beta}{-\sec\beta}\times\frac{\cos\beta}{-\sin\beta}$

$=\frac{-\frac{1}{\sin\beta}}{-\frac{1}{\cos\beta}}\times\frac{\cos\beta}{-\sin\beta}$

$=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\times\left(-\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right)$

$=-\frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}$

$=-\cot^2\beta$