Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $P$ titik tengah $AD$ dan $Q$ membagi $CD$ dengan perbandingan $CQ:QD=1:3$ . Jika $\overrightarrow{BA}=\vec{u}$ dan $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$ maka $\overrightarrow{PQ}$ sama dengan ....

A

$\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{3}{4}\vec{v}$

B

$\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{3}{4}\vec{v}$

C

$\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{3}{4}\vec{u}$

D

$\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{3}{4}\vec{u}$

E

$\frac{3}{4}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$

Pembahasan:

Diketahui:

Persegi panjang $ABCD$ dengan $P$ titik tengah $AD$ dan $Q$ membagi $CD$ dengan perbandingan $CQ:QD=1:3$ . serta $\overrightarrow{BA}=\vec{u}$ dan $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$

Ditanya:

$\overrightarrow{PQ}$ sama dengan ?

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$ ) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$ ), diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Perlu diingat bahwa untuk sembarang titik $A$ dan $B$ serta $C$ titik tengah garis $AB$ berlaku

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

dan untuk sembarang titik $D$ yang membagi $AB$ dengan perbandingan $AD:DB=m:n$ berlaku

$\overrightarrow{AD}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{DB}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}$

Diperoleh

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DQ}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}$

Diketahui $ABCD$ persegi panjang, artinya $BC$ dan $AD$ sejajar dan memiliki panjang yang sama serta $BA$ dan $CD$ sejajar dan memiliki panjang yang sama.

Perlu diingat untuk skalar $k=-1$ dan vektor $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$ , maka $k\vec{v}=-\overrightarrow{AB}$ dan memiliki panjang $\left|-1\right|=1$ kali panjang $\overrightarrow{AB}$ (panjangnya sama) serta arahnya berlawanan dengan vektor $\overrightarrow{AB}$ (sebab $-1<0$ ). Oleh karena itu vektor $-\overrightarrow{AB}$ memiliki titik awal $B$ dan titik ujung $A$ atau dapat ditulis sebagai vektor $\overrightarrow{BA}$ .