Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2x-x^2}\le x-2$

Ditanya:

Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi akhir:

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<\left(g\left(x\right)\right)^2$ (III)

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{2x-x^2}\le x-2$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=2x-x^2,\ g\left(x\right)=x-2$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Kasus 1

$2x-x^2\ge0$

⇔ $x^2-2x\le0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-2x=0$

⇔ $x\left(x-2\right)=0$

$x=0$ atau

$x-2=0$ ⇔ $x=2$

Pembuat nol adalah $0$ dan $2$. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\le$, solusi pertidaksamaan di kasus 1 adalah $0\le x\le2$ (I).

Kasus 2

$x-2\ge0$ ⇔ $x\ge2$ ... (II)

Kasus 3

$2x-x^2\le\left(x-2\right)^2$

⇔ $2x-x^2\le x^2-4x+4$

⇔ $-2x^2+6x-4\le0$

⇔ $x^2-3x+2\ge0$

Dengan cara yang sama untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita dapat peroleh:

⇔ $\left(x-2\right)\left(x-1\right)\ge0$

$x\le1$ atau $x\ge2$ ... (III)

Solusi akhir adalah irisan dari solusi (I), (II), dan (III). Garis bilangan yang menunjukkan irisan ketiganya dapat dilihat di gambar berikut.

Dari ketiga garis bilangan, satu-satunya daerah yang dilalui ketiga garis bilangan adalah $x=2$. Jadi, solusi pertidaksamaannya adalah $x=2$.

Pembuktian:

Kita masukkan $x=2$ ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{2\cdot2-2^2}\le2-2$

⇔ $\sqrt{4-4}\le0$

⇔ $0\le0$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.