Bank Soal Matematika Wajib SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x-1)=3x-1$ dan $g(x+1)=\frac{x-2}{x+2}, x\neq -2$ . Invers dari $(g\circ f)(x)$ adalah ....

A

$\frac{3x+1}{3-3x}$

B

$\frac{3x-1}{3-3x}$

C

$\frac{1-3x}{3-3x}$

D

$\frac{3x+1}{3x-3}$

E

$\frac{3x+1}{3x+3}$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $f(x-1)=3x-1$ dan $g(x+1)=\frac{x-2}{x+2}, x\neq -2$ .

Ditanya:

Invers dari $(g\circ f)(x)=?$

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$ , fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ .

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$ .

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$ . Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$ .

Atau dapat juga didefinisikan, jika $f\left(x\right)=y$ , maka $f^{-1}\left(y\right)=x$ .

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$ .

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

Akan dicari definisi fungsi $f$ . Diketahui $f\left(x-1\right)=3x-1$ , dimisalkan $x-1=y$ , maka $x=y+1$ . Diperoleh

$f\left(x-1\right)=3x-1$

$\Leftrightarrow f\left(y\right)=3\left(y+1\right)-1$

$\Leftrightarrow f\left(y\right)=3y+3-1$

$\Leftrightarrow f\left(y\right)=3y+2$

Dengan demikian, $f\left(x\right)=3x+2$ .

Akan dicari definisi fungsi $g$ . Diketahui $g\left(x+1\right)=\frac{x-2}{x+2}$ , dimisalkan $x+1=z$ , maka $x=z-1$ . Diperoleh

$g\left(x+1\right)=\frac{x-2}{x+2}$

$\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{\left(z-1\right)-2}{\left(z-1\right)+2}$

$\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{z-1-2}{z-1+2}$

$\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{z-3}{z+1}$

Dengan demikian $g\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}$

Akan dicari definisi fungsi $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ . Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(3x+2\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{\left(3x+2\right)-3}{\left(3x+2\right)+1}$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{3x+2-3}{3x+2+1}$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{3x-1}{3x+3}$

Akan dicari invers dari $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ . Dimisalkan $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)=k$ , maka berdasarkan definisi invers fungsi, didapat

$\left(g\circ f\right)\left(k\right)=x$

$\Leftrightarrow\frac{3k-1}{3k+3}=x$

$\Leftrightarrow3k-1=x\left(3k+3\right)$

$\Leftrightarrow3k-1=3kx+3x$

$\Leftrightarrow3k-3kx=3x+1$ dengan sifat distributif, diperoleh

$\Leftrightarrow\left(3-3x\right)k=3x+1$

$\Leftrightarrow k=\frac{3x+1}{3-3x}$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{3x+1}{3-3x}$

Video

31 Januari 2021

Operasi Komposisi pada Fungsi

✔ Ingin tanya tutor?

✔ Cek sampel tanya jawab

Rangkuman

27 April 2021

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Selengkapnya

Lihat Semua Rangkuman dan Materi

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

✔ Ingin soal latihan HOTS?

✔ Cek sampel soal HOTS?

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal