Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui $\overrightarrow{a}=\left(-2,\ -3,\ 1\right)$ , $\overrightarrow{b}=\left(3,\ m,\ 3\right)$ , dan $\overrightarrow{c}=\left(2,\ -4,\ 5\right)$ . Jika $\overrightarrow{a}$ tegak lurus $\overrightarrow{b}$ , maka hasil dari $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ adalah ....

A

$\left(-6,\ -5,\ 0\right)$

B

$\left(6,\ 3,\ 12\right)$

C

$\left(6,\ -5,\ 0\right)$

D

$\left(6,\ 9,\ 12\right)$

E

$\left(-6,\ 3,\ 12\right)$

Pembahasan:

Diketahui:

$\overrightarrow{a}=\left(-2,\ -3,\ 1\right)$

$\overrightarrow{b}=\left(3,\ m,\ 3\right)$

$\overrightarrow{c}=\left(2,\ -4,\ 5\right)$

$\overrightarrow{a}\ \perp\ \overrightarrow{b}$

Ditanya:

$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=?$

Jawab:

Jika $\overrightarrow{a}\$ dan $\overrightarrow{b}\$ saling tegak lurus, maka $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\ =0$ , sehingga dapat ditulis

$\left(-2,\ -3,\ 1\right)\cdot\left(3,\ m,\ 3\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(-2\right)\left(3\right)+\left(-3\right)\left(m\right)+\left(1\right)\left(3\right)=0$

$\Leftrightarrow\ -6+\left(-3m\right)+3=0$

$\Leftrightarrow\ -3-3m=0$

$\Leftrightarrow\ -3m=3$

$\Leftrightarrow\ m=\frac{3}{-3}$

$\Leftrightarrow\ m=-1$

Maka,

$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(-2,\ -3,\ 1\right)-2\left(3,\ -1,\ 3\right)+\left(2,\ -4,\ 5\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(-2,\ -3,\ 1\right)-\left(2\left(3\right),\ 2\left(-1\right),\ 2\left(3\right)\right)+\left(2,\ -4,\ 5\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\left(-2,\ -3,\ 1\right)-\left(6,\ -2,\ 6\right)+\left(2,\ -4,\ 5\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\left(\left(-2\right)-\left(6\right)+\left(2\right)\right),\ \left(\left(-3\right)-\left(-2\right)+\left(-4\right)\right),\ \left(\left(1\right)-\left(6\right)+\left(5\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\left(-2-6+2\right),\ \left(-3+2-4\right),\ \left(1-6+5\right)\right)$