Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int\left(2t+\frac{3}{\sqrt{t}}-5\sqrt{t}\right)dt=\int2t\ dt+\int\frac{3}{\sqrt{t}}dt-\int5\sqrt{t}\ dt$

Ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, sehingga menjadi:

$\int2t\ dt+\int\frac{3}{\sqrt{t}}dt-\int5\sqrt{t}\ dt=\int2t\ dt+\int\frac{3}{t^{\frac{1}{2}}}dt-\int5\left(t^{\frac{1}{2}}\right)\ dt$

Ingat juga bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$, sehingga menjadi:

$\int2t\ dt+\int\frac{3}{t^{\frac{1}{2}}}dt-\int5\left(t^{\frac{1}{2}}\right)\ dt=\int2t\ dt+\int3\left(t^{-\frac{1}{2}}\right)dt-\int5\left(t^{\frac{1}{2}}\right)\ dt$

$=\frac{2}{1+1}t^{1+1}+\frac{3}{-\frac{1}{2}+1}t^{-\frac{1}{2}+1}-\frac{5}{\frac{1}{2}+1}t^{\frac{1}{2}+1}\ +C$

$=\frac{2}{2}t^2+\frac{3}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}t^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-\frac{5}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}t^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\ +C$

$=t^2+\frac{3}{\frac{1}{2}}t^{\frac{1}{2}}-\frac{5}{\frac{3}{2}}t^{\frac{3}{2}}\ +C$

$=t^2+6\sqrt{t}-\frac{10}{3}t\sqrt{t}\ +C$

Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah $t^2+6\sqrt{t}-\frac{10}{3}t\sqrt{t}\ +C$