Diketahui:

Lingkaran seperti pada grafik berikut

Lingkaran tersebut dirotasikan pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $270\degree$

Ditanya:

Persamaan bayangan yang terbentuk?

Jawab:

Secara umum, persamaan lingkaran yang dengan pusat di $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Perhatikan grafik lingkaran berikut!

Dapat dilihat bahwa lingkaran tersebut memiliki

pusat $\left(-2,3\right)$ dan

jari-jari $r=3-\left(-2\right)=3+2=5$

Artinya $a=-2,\ b=3,$ dan $r=5$

sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

$\left(x-\left(-2\right)\right)^2+\left(y-3\right)^2=5^2$

$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=5^2$

$x^2+4x+4+y^2-6y+9=25$

$x^2+y^2+4x-6y+4+9-25=0$

$x^2+y^2+4x-6y-12=0$

Selanjutnya, secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

.

Dimisalkan titik $\left(x,y\right)$ berada pada lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ dan titik $\left(x',y'\right)$ merupakan bayangan titik $\left(x,y\right)$ oleh rotasi pada pusat $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $270\degree$.

Artinya $\theta=270\degree$, sehingga didapat

Artinya

$x'=y$ dan

$y'=-x\ \Rightarrow\ x=-y'$

Substitusikan $x=-y'$ dan $y=x'$ ke dalam $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ diperoleh

$x^2+y^2+4x-6y-12=0$

$(-y')^2+(x')^2+4(-y')-6(x')-12=0$

$(y')^2+(x')^2-4y'-6x'-12=0$

$(x')^2+(y')^2-6x'-4y'-12=0$

Jadi bayangan lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ oleh rotasi pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $270\degree$ adalah

$x^2+y^2-6x-4y-12=0$