Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2+2x+2}{x^2+x}<0$

Solusinya adalah $a<x<b$

Ditanya:

$a+b$?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2+2x+2}{x^2+x}<0$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2+2x+2$ dan $g\left(x\right)=x^2+x$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol di kedua fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2+2x+2=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=2,\ c=2$

$D=2^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi di fungsi $f\left(x\right)$.

⇔ $x^2+x=0$

⇔ $x\left(x+1\right)=0$

⇔ $x=0$ atau $x=-1$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut. Nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-1<x<0$, misalkan kita ambil $x=-\frac{1}{2}$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2)

⇔ $\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)+2}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)}<0$

⇔ $\frac{\frac{1}{4}-1+2}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}<0$

⇔ $\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{4}}<0$

⇔ $-5<0$ ... (2)

Ruas kiri bernilai negatif. Dengan demikian, rentang tersebut memang menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (2) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan. $$

Jadi, solusinya adalah $-1<x<0$ dengan $a=-1,b=0$ .

Dengan demikian,

$a+b=-1+0=-1$