Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x}<\sqrt{2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan di atas memiliki bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$. Solusi dari pertidaksamaan dengan bentuk ini adalah irisan dari solusi dengan kondisi-kondisi berikut:

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<k^2$ (II)

Diketahui dari soal bahwa pertidaksamaannya adalah

$\sqrt{x^2-x}<\sqrt{2}$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-x,\ k=\sqrt{2}$.

Kasus 1

Syarat akarnya adalah:

$x^2-x\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-x=0$

⇔ $x\left(x-1\right)=0$

$x=0$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

Pembuat nolnya adalah $0$ dan $1$. Tanda pertidaksamaan adalah $\ge$ sehingga solusinya adalah $x\ge1$ atau $x\le0$.

Kasus 2

$x^2-x<2$

⇔ $x^2-x-2<0$ ... (3)

Cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3) adalah dengan cara yang sama seperti kasus 1.

$x^2-x-2=0$

⇔ $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

⇔ $x=2$ atau $x=-1$

Pembuat nolnya adalah $-1$ dan $2$. Tanda pertidaksamaan adalah $<$ sehingga solusinya adalah $-1<x<2$.

Solusi keseluruhan adalah irisan dari solusi (I) dan (II), seperti yang ditunjukkan oleh garis bilangan di bawah.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah $-1<x\le0$ atau $1\le x<2$.

Pembuktian:

Untuk rentang $-1<x\le0$, kita gunakan $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{0^2-0}<\sqrt{2}$

⇔ $0<\sqrt{2}$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.