Diketahui:

segi-12 beraturan.

Masing-masing panjang sisinya 8 cm.

Ditanya:

Luas segi-12$=?$

Jawab:

Aturan luas segitiga dalam trigonometri

$L_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot\sin\theta$

Ingat aturan sinus

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga.

Perhatikan sketsa gambar berikut

Besar $\angle O=\frac{360^o}{12}=30^o$

Karena $\Delta AOB$ sama kaki (panjang $OA=OB$), maka $\angle A=\angle B$. Jumlah semua sudut segitiga adalah 180^o maka $\angle A=\angle B=\frac{180^o-30^o}{2}=75^o$

Sehingga,

$\sin75^o=\sin\left(45^o+30^o\right)$

$\sin75^o=\sin45^o\cos30^o+\cos45^o\sin30^o$

$\sin75^o=\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\sin75^o=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$\sin75^o=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

Untuk mencari panjang $OA=OB$ menggunakan aturan sinus yaitu

$\frac{OA}{\sin B}=\frac{AB}{\sin O}$

$\frac{OA}{\sin75^o}=\frac{AB}{\sin30^o}$

$\frac{OA}{\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}=\frac{8}{\frac{1}{2}}$

$\frac{OA}{\frac{1}{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}=8$ (kedua ruas dikali $\frac{1}{2}$)

$OA=8\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$OA=4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri, diperoleh

$L_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin30^o$

$L_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{2}$

$L_{AOB}=\frac{1}{4}\cdot4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$L_{AOB}=4\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$L_{AOB}=4\left(\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)$

$L_{AOB}=4\left(6+\sqrt{12}+\sqrt{12}+2\right)$

$L_{AOB}=4\left(8+2\sqrt{12}\right)$

$L_{AOB}=32+8\sqrt{12}$

$L_{AOB}=32+8\sqrt{4\cdot3}$

$L_{AOB}=32+8\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}$

$L_{AOB}=32+8\cdot2\cdot\sqrt{3}$

$L_{AOB}=32+16\sqrt{3}$ cm²

Karena ada 12 segitiga yang kongruen, maka

$L_{12}=12\cdot\left(32+16\sqrt{3}\right)$

$L_{12}=384+192\sqrt{3}$ cm²

Jadi, luas segi-12 tersebut adalah $384+192\sqrt{3}$ cm².