Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Pertidaksamaan 1: $y>x^2+x-6$

Pertidaksamaan 2: $y>-x^2+4$

Pilihan area penyelesaian:

Ditanya:

Manakah nomor area yang merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut?

Dijawab:

Ingat!

Pada $y=ax^2+bx+c$

-Jika $a$ bernilai positif, maka kurva terbuka ke atas.

-Jika $a$ bernilai negatif, maka kurva terbuka ke bawah.

Untuk pertidaksamaan yang memiliki tanda $>$ atau $<$ maka kurvanya digambarkan dengan kurva putus-putus.

Untuk pertidaksamaan yang memiliki tanda $\ge$ atau $\le$ maka kurvanya digambarkan dengan kurva tersambung.

Untuk dapat menentukan daerah penyelesaiannya, kita terselbih dahulu harus menggambar grafiknya agar mengetahu batas-batas daerah yang benar. Untuk menentukan batas-batasnya, kita dapat membawa kedua pertidaksamaan tersebut menjadi bentuk persamaan.

=============================================

Sehingga kita punya:

$y=x^2+x-6$ dan $y=-x^2+4$

Persamaan 1:

Titik potong sumbu x

Titik potong terhadap sumbu x akan diperoleh ketika nilai y nya adalah 0.

$0=x^2+x-6$

$0=\left(x+3\right)\left(x-2\right)$

$x=-3,\ x=2$

Didapat titik potong sumbu x adalah $\left(-3,0\right),\ \left(2,0\right)$

Titik potong sumbu y

Titik potong terhadap sumbu y akan diperoleh ketika nilai x nya adalah 0.

$y=0^2+0-6$

$y=-6$

Didapat titik $\left(0,-6\right)$

Titik puncak

x puncak: $-\frac{b}{2a}$

Dari $y=x^2+x-6$, $b=1$ (koefisien $x$) dan $a=1$(koefisien $\left(x^2\right)$.

Maka x puncak: $-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2.1}=-\frac{1}{2}$

y puncak didapatkan dengan memasukkan nilai x ke dalam persamaan awal.

$y=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-6$

$y=\frac{1}{4}-\frac{13}{2}$

$y=-\frac{25}{4}$

Didapat titik puncak $\left(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4}\right)$

Didapat gambar:

Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian:

Titik $\left(0,0\right)$

$y=0$

$x^2+x-6=0^2+0-6=0-6=-6$

Karena $0>-6$, maka didapat $y>x^2+x-6$

Titik $\left(3,0\right)$

$y=0$

$x^2+x-6=3^2+3-6=9+3-6=6$

Karena $0<6$, maka didapat $y<x^2+x-6$

Karena pertidaksamaan yang dituju adalah $y>x^2+x-6$ maka daerah yang kita ambil adalah daerah di dalam kurva.

Persamaan 2:

Titik potong sumbu x

$y=-x^2+4$

$0=-x^2+4$

$x^2=4$

$x=2,x=-2$

Didapat titik potong terhadap sumbu x adalah $\left(2,0\right),\ \left(-2,0\right)$.

Titik potong sumbu y

$y=-0^2+4$

$y=0+4$

$y=4$

Didapat titik potong sumbu y adalah $\left(0,4\right)$.

Titik puncak

$-\frac{b}{2a}=\frac{0}{2}=0$

$y=-0^2+4$

$y=4$

Didapat titik $\left(0,4\right)$

Didapat gambar(satukan dengan gambar pertidaksamaan pertama):

Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian $y>-x^2+4$

Titik $\left(0,0\right)$

$y=0$

$-x^2+4=0^2+4=0+4=4$

Karena $0<4$, maka didapat $y<-x^2+4$

Titik $\left(5,0\right)$

$y=0$

$-x^2+4=-5^2+4=-25+4=-21$

Karena $0>-21$, maka didapat $y>-x^2+4$

Karena pertidaksamaan yang dituju adalah $y>-x^2+4$ maka daerah yang kita ambil adalah di atas kurva.

Sehingga daerah penyelesaian yang tepat ditandai oleh nomor I saja.