Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel adalah sebagai berikut.

Langkah pertama adalah melukis garis pembatas

Pada persoalan di atas, $y>x+3$ adalah pertidaksamaan linear dan $y-x^2<1$adalah pertidaksamaan kuadrat.

Garis pembatas pada sistem pertidaksamaan di atas adalah $y=x+3$

Cara melukis garis pembatas dengan mencari titik koordinat yang melalui garis pembatas. Titik-titik koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Selanjutnya, lukis garis pembatas dengan ketentuan:

Jika pertidaksamaan memuat tanda $<$ atau $>$ , maka garis pembatasnya digambar dengan garis putus-putus

Jika pertidaksamaan memuat tanda $\le$ atau $\ge$ , maka garis pembatasnya digambar dengan garis penuh.

Pada pertidaksamaan $y>x+3$ memuat tanda $>$ sehingga garis pembatasnya berupa garis putus-putus.

Langkah kedua adalah melukis kurva pembatas

Kurva pembatas pada sistem pertidaksamaan di atas adalah $y-x^2=1$. Cara melukis kurva pembatas dengan mencari titik potong garis dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Titik puncak diperoleh dengan rumus $x=-\frac{b}{2a}$ dan $y=-\frac{D}{4a}$ dengan $D=b^2-4ac$

Karena $y-x^2=1$ dalam bentuk eksplisit yaitu $y=x^2+1$ dengan $a=1,b=0,c=1$ maka

$x=-\frac{0}{2\left(1\right)}$

$x=-\frac{0}{2}$

$x=0$

$y=-\frac{0^2-4\left(1\right)\left(1\right)}{4\left(1\right)}$

$y=-\frac{0-4}{4}$

$y=-\frac{-4}{4}$

$y=1$

sehingga diperoleh titik puncak $\left(0,1\right)$

Pada pertidaksamaan $y-x^2<1$ memuat tanda $<$ sehingga kurva pembatasnya berupa garis putus-putus.

Langkah ketiga adalah mencari titik potong garis dengan kurva

Mencari titik potong garis dengan kurva dapat dilakukan dengan melakukan substitusi persamaan $y=x+3$ ke persamaan $y-x^2=1$ atau diubah dalam bentuk eksplisit yaitu $y=x^2+1$

$y=x^2+1$

$x+3=x^2+1$

$x^2-x-2=0$

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$

$x+1=0$ atau $x-2=0$

$x=-1$ atau $x=2$

Selanjutnya mencari nilai $y$

untuk $x=-1$

$y=x+3$

$y=\left(-1\right)+3$

$y=2$

sehingga diperoleh titik potong $\left(-1,2\right)$

untuk $x=2$

$y=x+3$

$y=2+3$

$y=5$

sehingga diperoleh titik potong $\left(2,5\right)$

Langkah keempat adalah melukis daerah penyelesaian

Perhatikan tanda koefisien $y$ dan tanda pertidaksamaan

Jika koefisien $y$ atau $y^2$ $>0$ maka bernilai positif $\left(+\right)$

Jika koefisien $y$ tau $y^2$ $<0$ maka bernilai negatif $\left(-\right)$

Jika tanda pertidaksamaan berupa $>$ atau $\ge$ maka bernilai positif $\left(+\right)$

Jika tanda pertidaksamaan berupa $<$ atau $\le$ maka bernilai negatif $\left(-\right)$

Lakukan perkalian tanda koefisien dengan tanda pertidaksamaan

$\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right),\$ maka diarsir di atas atau di luar pembatas

$\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right),\$ maka diarsir di atas atau di luar pembatas

$\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right),\$ maka diarsir di bawah atau di dalam pembatas

$\left(-\right)\times\left(+\right)=\left(-\right),\$ maka diarsir di bawah atau di dalam pembatas

Dengan demikian,

Pada pertidaksamaan $y>x+3$ koefisien $y>0$ dan tanda pertidaksamaan berupa $>$ maka hasil kalinya

$\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)$, maka diarsir di atas garis pembatas

Pada pertidaksamaan $y-x^2<1$ koefisien $y>0$ dan tanda pertidaksamaan berupa $<$ maka hasil kalinya

$\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$, maka diarsir di bawah kurva pembatas

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel merupakan irisan dari kedua daerah penyelesaian pertidaksamaan. Sehingga diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.