Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Pertidaksamaan 1: $y>\frac{1}{2}x^2+x-4$

Pertidaksamaan 2: $2x-y\ge2$

Ditanya:

Bagaimana daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut?

Dijawab:

Bawa bentuk pertidaksamaan ke bentuk persamaan untuk menentukan batas daerahnya.

Kurva

$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$

Titik potong sumbu x

Grafik memotong sumbu x ketika $y=0$

$0=\frac{1}{2}x^2+x-4$

kedua ruas dikalikan 2

$0=x^2+2x-8$

$0=\left(x+4_{ }\right)\left(x-2\right)$

$x=-4,\ \ \ x=2$

Didapat titik potong sumbu x adalah $\left(-4,0\right),\ \left(2,0\right)$

Titik potong sumbu y

Grafik memotong sumbu y ketika $x=0$

$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$

$y=\frac{1}{2}\left(0\right)^2+0-4=0+0-4=-4$

Didapat titik potong sumbu y nya adalah $\left(0,-4\right)$

Titik puncak

Pada $y=\frac{1}{2}x^2+x-4,\ \ \ \ \ a=\frac{1}{2\ },\ b=1,\ c=-4$

x puncak: $-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\left(\frac{1}{\left(2\right)}\right)}=-\frac{1}{1}=-1$

$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)^2+\left(-1\right)-4=\frac{1}{2}\left(1\right)-1-4=\frac{1}{2}-1-4=-4.5$

Didapat titik puncak $\left(-1,-4.5\right)$

Didapat kurvanya adalah:

Uji titik daerah penyelesaian:

Titik di dalam kurva $\left(0,0\right)$

$y=0$

$\frac{1}{2}x^2+x-4=0+0-4=-4$

Karena $0>-4$ maka $y>\frac{1}{2}x^2+x-4$

Titik di luar kurva $\left(3,0\right)$

$y=0$

$\frac{1}{2}x^2+x-4=\frac{1}{2}\left(3\right)^2+3-4=\frac{9}{2}+3-4=\frac{9+6-8}{2}=\frac{7}{2}=3.5$

Karena $0<3.5$ maka $y<\frac{1}{2}x^2+x-4$

Maka daerah penyelesaiannya terletak di dalam kurva

Garis

$2x-y=2$

Titik potong sumbu x

Memotong sumbu x ketika $y=0$

$2x-0=2$

$2x=2$

$x=1$ didapat titik $\left(1,0\right)$

Titik potong sumbu y

Memotong sumbu y ketika $x=0$

$2x-y=2$

$2\left(0\right)-y=2$

$0-y=2$

$y=-2$ didapat titik $\left(0,-2\right)$

Didapat garis:

Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian

Titik di kanan garis $\left(2,0\right)$

$2x-y=2\left(2\right)-0=4>2$

Titik di kiri garis $\left(0,0\right)$

$2x-y=2\left(0\right)-0=0-0=0<2$

Maka daerah penyelesaian berada di sebelah kanan garis.

Dari perhitungan kurva dan garis, maka daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah: