Diketahui:

$\operatorname{cosec}\theta=-\frac{17}{15}$ dengan $\frac{3}{2}\pi<\theta<2\pi$

Ditanya:

Nilai dari $\tan\theta=?$

Dijawab:

Perlu diingat identitas pada trigonometri berikut:

$\tan\theta=\frac{1}{\operatorname{cotan}\theta}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}\theta=\frac{1}{\tan\theta}$

$\operatorname{cotan}^2\theta+1=\operatorname{cosec}^2\theta$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\operatorname{cosec}^2\theta-1$

Berdasarkan identitas trigonometri di atas diperoleh:

$\operatorname{cotan}^2\theta=\operatorname{cosec}^2\theta-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\left(-\frac{17}{15}\right)^2-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\frac{289}{225}-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\frac{289}{225}-\frac{225}{225}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\frac{64}{225}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}\theta=\pm\frac{8}{15}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{\tan\theta}=\pm\frac{8}{15}$

$\Leftrightarrow\tan\theta=\pm\frac{15}{8}$

Perlu diingat bahwa sistem koordinat kartesius dibagi menjadi empat kuadran, yaitu

Kuadran I: sudut $\theta$ dengan $0\degree<\theta<90\degree$

Kuadran II: sudut $\theta$ dengan $90\degree<\theta<180\degree$

Kuadran III: sudut $\theta$ dengan $180\degree<\theta<270\degree$

Kuadran IV: sudut $\theta$ dengan $270\degree<\theta<360\degree$

atau jika diilustrasikan dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut:

Kita ubah terlebih dahulu batas nilai $\theta$ ke dalam ukuran derajat.

Pengubahan ukuran radian ke dalam ukuran derajat adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

Untuk $\frac{3}{2}\pi$ diperoleh:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\frac{3}{2}\pi\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=270°$

Untuk $2\pi$ diperoleh:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=2\pi\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=360°$

Karena $270\degree<\theta<360\degree$, maka sudut $\theta$ berada di kuadran IV.

Nilai trigonometri $\left(\sin,\ \cos,\ \tan\right)$ yang bernilai positif pada keempat kuadran tersebut disajikan pada gambar berikut:

Pada kuadran IV, nilai $\tan\theta$ bernilai negatif, sehingga didapatkan:

$\tan\theta=-\frac{15}{8}$

Jadi, nilai dari $\tan\theta$ adalah $-\frac{15}{8}$.