Bank Soal Matematika SMA Kombinasi

Diketahui:

Dalam sebuah keranjang terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih.

Diambil dua kelereng sekaligus dalam kotak itu.

Ditanya:

Banyaknya kemungkinan terambilnya dua kelereng berwarna sama$=?$

Jawab:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan kombinasi karena dalam pengambilan dua kelereng sekaligus dalam kotak, urutan tidak diperhatikan.

Kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n\$unsur berbeda yang tersedia adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya $\left(r\le n\right)$, dan dilambangkan $C_r^n$.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

$C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

Aturan penjumlahan dipakai jika:

a. Ada beberapa kegiatan berbeda yang saling lepas, namun hanya satu yang dilakukan,

b. Dibagi dalam beberapa kasus/kemungkinan (walaupun ketika membagi kasus/kemungkinan, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).

Dalam kasus soal di atas, diambil dua kelereng sekaligus dalam kotak itu dan terambilnya dua kelereng berwarna sama. Kemungkinan yang terambil adalah:

> 2 kelereng merah

> 2 kelereng putih

Untuk kemungkinan pertama yaitu terambil 2 kelereng merah adalah memilih 2 kelereng merah dari 4 kelereng merah yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 4 unsur yang tersedia dan didapatkan:

$C_2^4=\frac{4!}{\left(4-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{4!}{2!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{4\ \times\ 3\ \times\ 2!}{2!\ \cdot\ 2\ \times\ 1}$

$=\frac{4\ \times\ 3}{2\ \times\ 1}$

$=6$

Untuk kemungkinan kedua yaitu terambil 2 kelereng putih adalah memilih 2 kelereng putih dari 6 kelereng putih yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 6 unsur yang tersedia dan didapatkan:

$C_2^6=\frac{6!}{\left(6-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{6!}{4!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{6\ \times\ 5\ \times\ 4!}{4!\ \cdot\ 2\ \times\ 1}$

$=\frac{6\ \times\ 5}{2\ \times\ 1}$

$=15$

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, banyak kemungkinan terambilnya dua kelereng berwarna sama secara keseluruhan adalah:

$C_2^4\ +\ C_2^6=6+15=21$

Jadi, banyaknya kemungkinan terambilnya dua kelereng berwarna sama adalah 21.