Bank Soal Matematika SMA Konsep dan Peluang Distribusi Normal

Diketahui:

$\mu=22$ menit

$\sigma=3,1$ menit

$x=\frac{1}{2}$ jam $=30$ menit

Ditanya:

$P\left(X>30\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$, sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x=30$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z=\frac{30-22}{3,1}=\frac{8}{3,1}\approx2,58$

Sehingga,

$P\left(X>30\right)=P\left(Z>2,58\right)$

Sketsakan

$P\left(Z>2,58\right)$ artinya adalah luasan daerah di kanan $z=2,58$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$. Oleh karena itu, untuk menemukan luas di kanan $z=2,58$, kita harus menemukan luas di kiri $z=2,58$ terlebih dahulu, lalu mengurangkan 1 dengan luas daerah kurva di sebelah kiri $z=2,58$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(Z>2,58\right)=1-P\left(Z\le2,58\right)$

Nilai $P\left(Z\le2,58\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $2,5$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,08$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,9951$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z\le2,58\right)=0,9951$

Dengan demikian,

$P\left(X>30\right)=P\left(Z>2,58\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X>30\right)=1-P\left(X\le2,58\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X>30\right)=1-0,9951$

$\Leftrightarrow P\left(X>30\right)=0,0049$

Jadi, probabilitas perjalanan siswa tersebut lebih dari $\frac{1}{2}$ jam adalah 0,0049.