Bank Soal Matematika SMA Konsep dan Peluang Distribusi Normal

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Seorang pakar dari sebuah universitas ternama melaporkan bahwa tikus akan berumur rata-rata 22 bulan jika makanannya dibatasi secara ketat, kemudian diperkaya dengan vitamin dan protein. Misalkan umur tikus seperti itu berdistribusi normal dengan simpangan baku 5,5 bulan, maka peluang bahwa seekor tikus akan tetap hidup lebih dari 25 bulan adalah ....

A

$0,2912$

B

$0,7088$

C

$0,7054$

D

$0,2946$

E

$0,7043$

Pembahasan:

Diketahui:

$\mu=22$

$\sigma=5,5$

$x=25$

Ditanya:

Peluang seekor tikus hidup lebih dari 25 bulan atau $P\left(X>25\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ , sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x=25$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z=\frac{25-22}{5,5}=\frac{3}{5.5}\approx0,55$

Sehingga,

$P\left(X>25\right)=P\left(Z>0,55\right)$

Sketsakan

$P\left(Z>0,55\right)$ artinya adalah luasan daerah di kanan $z=0,55$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$ . Oleh karena itu, untuk menemukan luas di kanan $z=0,55$ , kita harus menemukan luas di kiri $z=0,55$ terlebih dahulu, lalu mengurangkan 1 dengan luas daerah kurva di sebelah kiri $z=0,55$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(Z>0,55\right)=1-P\left(Z\le0,55\right)$

Nilai $P\left(Z\le0,55\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $0,5$ , kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,05$ , sehingga ditemukan bilangan desimal $0,7088$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.