Bank Soal Matematika SMA Dasar Teori Vektor dan Operasi Vektor

Soal

Pilgan

Pembahasan

Diberikan trapesium $A B C D$ dengan $P, Q, R, S$ berturut-turut adalah titik tengah antara sisi $A B, B C, C D, D A$ . Jika $a, b, c, d$ berturut-turut adalah vektor posisi titik $A, B, C, D$ maka $A B + Q D + R S$ sama dengan ....

A

$\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + c - d$

B

$- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b - c + d$

C

$a - b + \frac{1}{2} c - \frac{1}{2} d$

D

$- a + b - \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} d$

E

$a - b + c - d$

Pembahasan:

Diketahui:

Trapesium $ABCD$ dengan $P,\ Q,\ R,\ S$ berturut-turut adalah titik tengah antara sisi $AB,\ BC,\ CD,\ DA$ dan $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ \vec{d}$ berturut-turut adalah vektor posisi titik $A,\ B,\ C,\ D$

Ditanya:

Hasil dari $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}$ ?

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut!

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$ ) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$ ), diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Perlu diingat bahwa untuk sembarang titik $A$ dan $B$ serta $C$ titik tengah garis $AB$ berlaku $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Selain itu, secara umum untuk sembarang titik $P$ dan $Q$ dengan $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ berturut-turut adalah vektor posisi titik $P$ dan $Q$ berlaku $\overrightarrow{PQ}=\vec{q}-\vec{p}$

Diperoleh

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{RD}+\overrightarrow{DS}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}=\vec{b}-\vec{a}+\frac{1}{2}\left(\vec{c}-\vec{b}\right)+\vec{d}-\vec{c}+\frac{1}{2}\left(\vec{d}-\vec{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{a}-\vec{d}\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}=\vec{b}-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}-\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{d}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{RS}=-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}-\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{d}-\frac{1}{2}\vec{d}$