Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui pertidaksamaan $\sqrt{2x-3}>x-3$ . Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah ....

E

$x<2$ atau $x>6$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2x-3}>x-3$

Ditanya:

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{2x-3}>x-3$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=2x-3$ dan $g\left(x\right)=x-3$

Akan dicari syarat akarnya, diperoleh

$f\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2x-3\ge0$

$\Leftrightarrow2x\ge3$

$\Leftrightarrow x\ge\frac{3}{2}$ . . . (2)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{2x-3}\right)^2>\left(x-3\right)^2$

$\Leftrightarrow2x-3>x^2-6x+9$

$\Leftrightarrow0>x^2-6x+9-2x+3$

$\Leftrightarrow0>x^2-6x-2x+9+3$

$\Leftrightarrow0>x^2-8x+12$ . . . (3)

Pertidaksamaan (3) dapat ditulis menjadi

$x^2-8x+12<0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$ .

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

$x\le x_1$ atau $x\ge x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
$x_1\le x\le x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (*) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari harga nol pertidaksamaan (*), diperoleh

$x^2-8x+12=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-8$ dan $pq=12$ adalah $p=-2$ dan $p=-6$ . Didapat

$x^2-8x+12=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0$

Artinya,

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ atau

$x-6=0\Leftrightarrow x=6$

Karena $2<6$ dan tanda pertidaksamaan pada (*) adalah $<$ maka penyelesaian dari pertidaksamaan (*) adalah

$2<x<6$ . . . (**)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (2) dan (**). Diperhatikan bahwa $\frac{3}{2}<2$ , maka $2<x<6$ pasti memenuhi $x\ge\frac{3}{2}$ . Jadi penyelesaian pertidaksamaan pada soal adalah $2<x<6$