Diketahui:

$\sin\beta=-\frac{15}{17}$ dan $\pi<\beta<\frac{3}{2}\pi$

Ditanya:

Nilai $\operatorname{cotan}\beta$ ?

Jawab:

Perlu diingat identitas pada trigonometri berikut:

$\operatorname{cosec}\beta=\frac{1}{\sin\beta}$

Pada soal diketahui $\sin\beta=-\frac{15}{17}$, sehingga didapat

$\operatorname{cosec}\beta=\frac{1}{-\frac{15}{17}}$

$\operatorname{cosec}\beta=-\frac{17}{15}$

Selain itu identitas pada trigonometri yang perlu diingat adalah

$\operatorname{cotan}^2\theta+1=\operatorname{cosec}^2\theta$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\theta=\operatorname{cosec}^2\theta-1$

Berdasarkan identitas trigonometri tersebut diperoleh

$\operatorname{cotan}^2\beta=\operatorname{cosec}^2\beta-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\beta=\left(-\frac{17}{15}\right)^2-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\beta=\frac{289}{225}-1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\beta=\frac{289}{225}-\frac{225}{225}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}^2\beta=\frac{64}{225}$

Perlu diingat pula pembagian kuadran berikut

Untuk sembarang sudut $\theta$ positif dihitung dari sumbu-$X$ positif dan bergerak berlawanan dengan jarum jam.

Pada soal diketahui $\sin\beta=-\frac{15}{17}$ dan $\pi<\beta<\frac{3}{2}\pi$, artinya sudut $\beta$ tersebut berada pada kuadran III.

Nilai trigonometri ($\sin,\ \cos,$ atau $\tan$) yang bernilai positif pada keempat kuadran tersebut disajikan pada gambar berikut

Pada kuadran III $\tan\theta$ bernilai positif.

Kemudian perlu diingat juga identitas trigonometri berikut

$\operatorname{cotan}\theta=\frac{1}{\tan\theta}$

Artinya, paka kuadran III $\operatorname{cotan}\theta$ juga bernilai positif, sehingga didapat

$\operatorname{cotan}^2\beta=\frac{64}{225}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}\beta=\sqrt{\frac{64}{225}}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}\beta=\frac{8}{15}$