Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Uraikan terlebih dahulu integral tersebut dengan sifat perkalian $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

$\int\frac{2\pi x^3\left(x-3\right)^2}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-2\left(x\right)\left(3\right)+3^2\right)}{x^2}dx$

$=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-6x+9\right)}{x^2}dx$

$=\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx$

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$, sehingga menjadi:

$\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx=\int2\pi x^5\left(x^{-2}\right)dx-\int12\pi x^4\left(x^{-2}\right)dx+\int18\pi x^3\left(x^{-2}\right)dx$

$=\int2\pi x^3dx-\int12\pi x^2dx+\int18\pi x^1dx$

$=\frac{2\pi}{3+1}x^{3+1}-\frac{12\pi}{2+1}x^{2+1}+\frac{18\pi}{1+1}x^{1+1}+C$

$=\frac{2\pi}{4}x^4-\frac{12\pi}{3}x^3+\frac{18\pi}{2}x^2+C$

$=\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C$

Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah $\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C$