Bank Soal Matematika Wajib SMA Integral Fungsi Aljabar

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Hasil dari $\int\frac{2\pi x^3\left(x-3\right)^2}{x^2}dx$ adalah ....

A

$\frac{1}{2}x^4-4x^3+9x^2+C$

B

$2x^4-4x^3+3x^2+C$

C

$\frac{\pi}{2}x^4-\frac{\pi}{4}x^3+9\pi x^2+C$

D

$\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C$

E

$2\pi x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C$

Pembahasan:

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Uraikan terlebih dahulu integral tersebut dengan sifat perkalian $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

$\int\frac{2\pi x^3\left(x-3\right)^2}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-2\left(x\right)\left(3\right)+3^2\right)}{x^2}dx$

$=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-6x+9\right)}{x^2}dx$

$=\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx$

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ , sehingga menjadi:

$\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx=\int2\pi x^5\left(x^{-2}\right)dx-\int12\pi x^4\left(x^{-2}\right)dx+\int18\pi x^3\left(x^{-2}\right)dx$