Diketahui: $y=f(x)=x^3-3x^2+3x-1$

Ditanya: Sketsa grafik fungsi

Dijawab:

Terdapat beberapa tahapan dalam menggambar sebuah kurva, antara lain:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y, jika mudah ditentukan,
2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya, dan
3. Menentukan titik lain untuk membuat plot kurva tersebut.

Berikut ini langkah penyelesaiannya.

• Titik potong dengan sumbu koordinat

Titik potong dengan sumbu X $\left(y=0\right)$

$x^3-3x^2+3x-1=0$

Tips: Akar-akar persamaan di atas merupakan himpunan bagian dari faktor dari $\left(-1\right)$. Akar tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan Teorema Sisa. Teorema Sisa menyatakan jika $x=d$ adalah akar persamaannya, maka $f\left(d\right)=0$.

Faktor dari $-1$ : $-1\ \text{dan}\ 1$

$x=-1\ \Rightarrow\ f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-3\left(-1\right)^2+3\left(-1\right)-1=-1-3-3-1=-8$

$x=1\ \Rightarrow\ f\left(1\right)=\left(1\right)^3-3\left(1\right)^2+3\left(1\right)-1=1-3+3-1=0$

Jadi, $x=1$ dan $\left(x-1\right)$ berturut-turut merupakan akar persamaan dan faktor dari kurva $y$.

Selanjutnya, faktor lainnya dapat ditentukan metode Horner maupun pembagian biasa. Berdasarkan salah satu metode tersebut, diperoleh:

$\left(x-1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0\ \Rightarrow\ x=1$

Jadi, kurva memotong sumbu X di titik $\left(1,0\right)$.

Titik potong dengan sumbu Y $\left(x=0\right)$

$x=0\ \Rightarrow\ y=\left(0\right)^3-3\left(0\right)^2+3\left(0\right)-1=-1$

Jadi, kurva memotong sumbu Y di titik $\left(0,-1\right)$

Catatan: Metode pada poin 1 bersifat opsional dan tidak direkomendasikan untuk fungsi polinomial berderajat lebih dari 2.

• Titik stasioner dan jenisnya

Syarat suatu fungsi berada dalam kondisi stasioner di $x=d$ adalah $f'\left(d\right)=0$. Agar lebih mudah, kita cukup mencari $f'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan nilai $x$ yang menyebabkan fungsi tersebut stasioner.

$y'=f'\left(x\right)=\left(1\times3\right)x^{3-1}-\left(3\times2\right)x^{2-1}+\left(3\times1\right)x^{1-1}-0$

$f'(x)=3x^2-6x+3$

$f'\left(x\right)=0$

$x^2-2x+1=0$

$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0\ \Rightarrow\ x=1$

Substitusikan nilai $x=1$ ke $f(x)$, sehingga diperoleh nilai stasioner dari fungsi tersebut.

$y=f(1)=\left(1\right)^3-3\left(1\right)^2+3\left(1\right)-1=0$

Jadi, titik stasionernya berada di titik $\left(1,0\right)$

Nilai $f'\left(x\right)$ di sekitar $x=1$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<1$, $f'\left(x\right)>0$ dan fungsi $h$ dikatakan naik
• Untuk $x>1$, $f'\left(x\right)>0$ dan fungsi $h$ dikatakan naik

Jika nilai $f'\left(x\right)$ di sekitar $x=1$ bertanda sama, maka titik stasioner tersebut merupakan titik belok dari fungsi $f$.

• Titik bantu lainnya

Tips: Ambil beberapa nilai $x$ yang sederhana dan substitusikan ke fungsi $y=f\left(x\right)$

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, diperoleh sketsa fungsi $y=f(x)=x^3-3x^2+3x-1$ seperti pada gambar di bawah ini.