Bank Soal Matematika Wajib SMA Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui $P\left(n\right)\ :\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots+\frac{1}{n^2}\le2-\frac{1}{n}$ untuk setiap bilangan asli $n$ . Diandaikan benar untuk $n=k$ , maka akan dibuktikan benar bahwa ....

A

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\le2-\frac{1}{k}$

B

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\le2-\frac{1}{k+1}$

C

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{k^2}\le2-\frac{1}{k}$

D

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}\le2-\frac{1}{k+1}$

E

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}\le2-\frac{1}{k}$

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Pada soal telah diandaikan bahwa ketidaksamaan $P\left(n\right)$ telah diandaikan benar untuk $n=k$ , maka berdasarkan langkah induksi akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ . Diperoleh