Diketahui $P\left(n\right)\ :\ n!>2^n$.

Notasi $n!$ biasa disebut $n$ faktorial merupakan notasi perkalian berurutan dari $n$ sampai dengan 1, sebagai contoh

$3!=3.2.1=6$

$5!=5.4.3.2.1=120$

Untuk $n=1$ diperoleh $P\left(1\right)$ yaitu

$n!=1!=1<2=2^1=2^n$

Artinya $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=1$.

Untuk $n=2$ diperoleh $P\left(2\right)$ yaitu

$n!=2!=2.1=2<4=2^2=2^n$

Artinya $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=2$.

Untuk $n=3$ diperoleh $P\left(3\right)$ yaitu

$n!=3!=3.2.1=6<8=2^3=2^n$

Artinya $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=3$ .

Faktorial memiliki sifat:

$\left(n+1\right)!=\left(n+1\right).n.\left(n-1\right).\left(n-2\right)\dots3.2.1=\left(n+1\right).n!$

Selain itu, perlu diingat beberapa sifat operasi aljabar berikut:

sifat distributif

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat transitif

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $a<b<c\Leftrightarrow a<c$

Selanjutnya, untuk setiap $n>3$ akan dibuktikan kebenaran dari $P\left(n\right)$ dengan menggunakan induksi matematika.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Langkah-langkah pembuktian tersebut adalah

Basis induksi:

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=4$

Diperhatikan bahwa

$4!=4.3.2.1=24>16=2^4=2^n$

Artinya, terbukti bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=4$

Langkah induksi:

Diandaikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, yaitu

$k!>2^k$ .

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$, yaitu akan dibuktikan benar bahwa

$\left(k+1\right)!>2^{k+1}$

Diperhatikan bahwa

$k!>2^k$

Kedua ruas dikalikan dengan $k+1$, didapat

$\left(k+1\right)k!>\left(k+1\right)2^k$

berdasarkan sifat faktorial (ruas kiri) dan sifat distributif (ruas kanan) diperoleh

$\left(k+1\right)!>k.2^k+2^k$

Karena $k$ suatu bilangan yang $k\ge1$ maka

$\left(k+1\right)!>k.2^k+2^k>2^k+2^k$

Berdasarkan sifat transitif berlaku

$\left(k+1\right)!>2^k+2^k$

$\left(k+1\right)!>2.2^k$

$\left(k+1\right)!>2^{k+1}$

Artinya, terbukti bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Oleh karena itu, berdasarkan induksi matematika, ketidaksamaan $P\left(n\right)$ benar untuk setiap bilangan asli $n\ge4$ .

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan jawaban adalah $P\left(n\right)$ benar untuk setiap $n\geq 4$