Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-12}\le x-3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi akhir (*):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol jika tanda di soal $\le$. Jika $<$, cukup $g\left(x\right)>0$ ) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<\left(g\left(x\right)\right)^2$ (III)

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{x^2-12}\le x-3$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-12,\ g\left(x\right)=x-3$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Kasus 1

$x^2-12\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-12=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x,\ b\ =\ \sqrt{12}$.

$\left(x-\sqrt{12}\right)\left(x+\sqrt{12}\right)=0$

$x-\sqrt{12}=0$ ⇔ $x=\sqrt{12}$ atau

$x+\sqrt{12}=0$ ⇔ $x=-\sqrt{12}$

Pembuat nolnya adalah $-\sqrt{12}$ dan $\sqrt{12}$. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\ge0$, solusinya adalah $x\ge\sqrt{12}$ atau $x\le-\sqrt{12}$ (I).

Kasus 2

$x-3\ge0$ ⇔ $x\ge3$ ... (II)

Kasus 3

$x^2-12\le\left(x-3\right)^2$

⇔ $x^2-12\le x^2-6x+9$

⇔ $6x-21\le0$

⇔ $x\le\frac{21}{6}$

⇔ $x\le\frac{7}{2}$ ... (III)

Solusi (*) adalah irisan dari solusi (I), (II), dan (III). Garis bilangan yang menunjukkan irisan ketiganya dapat dilihat di gambar berikut.

Jadi, solusi pertidaksamaan adalah $2\sqrt{3}\le x\le\frac{7}{2}$.

Pembuktian:

Untuk rentang $2\sqrt{3}\le x\le\frac{7}{2}$, kita gunakan $x=\frac{7}{2}$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2-12}\le\frac{7}{2}-3$

⇔ $\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{48}{4}}\le\frac{7}{2}-\frac{6}{2}$

⇔ $\sqrt{\frac{1}{4}}\le\frac{1}{2}$

⇔ $\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.