Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilihan Ganda

Penyelesaian dari pertidaksamaan x212x3\sqrt{x^2-12}\le x-3 adalah ....

A

x72x\ge\frac{7}{2}

B

x72x\le\frac{7}{2}

C

x23x\ge2\sqrt{3} atau x23x\le-2\sqrt{3}

D

x3x\ge3

E

23x722\sqrt{3}\le x\le\frac{7}{2}

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x212x3\sqrt{x^2-12}\le x-3

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk f(x)<g(x)\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right). Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi akhir (*):

Irisan dari

  1. Syarat akar f(x)0f\left(x\right)\ge0 (I)
  2. Kasus fungsi g(x)0g\left(x\right)\ge0 (positif atau sama dengan nol jika tanda di soal \le. Jika <<, cukup g(x)>0g\left(x\right)>0 ) (II)
  3. Kuadratkan kedua ruas menjadi f(x)<(g(x))2f\left(x\right)<\left(g\left(x\right)\right)^2 (III)

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

x212x3\sqrt{x^2-12}\le x-3 ... (1)

dengan f(x)=x212, g(x)=x3f\left(x\right)=x^2-12,\ g\left(x\right)=x-3.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Kasus 1

x2120x^2-12\ge0 ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x212=0x^2-12=0

Persamaan ini memiliki bentuk a2b2a^2-b^2. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai (ab)(a+b)\left(a-b\right)\left(a+b\right). Dari sini, dapat diketahui bahwa a=x, b = 12a=x,\ b\ =\ \sqrt{12}.

(x12)(x+12)=0\left(x-\sqrt{12}\right)\left(x+\sqrt{12}\right)=0

x12=0x-\sqrt{12}=0 x=12x=\sqrt{12} atau

x+12=0x+\sqrt{12}=0 x=12x=-\sqrt{12}

Pembuat nolnya adalah 12-\sqrt{12} dan 12\sqrt{12}. Karena tanda pertidaksamaannya adalah 0\ge0, solusinya adalah x12x\ge\sqrt{12} atau x12x\le-\sqrt{12} (I).

Kasus 2

x30x-3\ge0 x3x\ge3 ... (II)

Kasus 3

x212(x3)2x^2-12\le\left(x-3\right)^2

x212x26x+9x^2-12\le x^2-6x+9

6x2106x-21\le0

x216x\le\frac{21}{6}

x72x\le\frac{7}{2} ... (III)

Solusi (*) adalah irisan dari solusi (I), (II), dan (III). Garis bilangan yang menunjukkan irisan ketiganya dapat dilihat di gambar berikut.

Jadi, solusi pertidaksamaan adalah 23x722\sqrt{3}\le x\le\frac{7}{2}.

Pembuktian:

Untuk rentang 23x722\sqrt{3}\le x\le\frac{7}{2}, kita gunakan x=72x=\frac{7}{2} untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

(72)212723\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2-12}\le\frac{7}{2}-3

4944847262\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{48}{4}}\le\frac{7}{2}-\frac{6}{2}

1412\sqrt{\frac{1}{4}}\le\frac{1}{2}

1212\frac{1}{2}\le\frac{1}{2} ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal