Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x-6}\le\sqrt{x^2+5x+4}$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang merupakan memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{x^2-x-6}\le\sqrt{x^2+5x+4}$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=x^2-x-6$ dan $g\left(x\right)=x^2+5x+4$

Akan dicari syarat akarnya. Untuk $f\left(x\right)$ diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-x-6\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-x-6=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-1$ dan $pq=-6$ adalah $p=2$ dan $q=-3$. Didapat

$x^2-x-6=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$

Artinya,

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$ atau

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Karena pembuat nolnya adalah $-2$ dan $3$ dengan $-2<3$ serta tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$ maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $x\le-2$ atau $x\ge3$ . . . (3).

Syarat akar untuk $g\left(x\right)$ diperoleh

$g\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+5x+4\ge0$ . . . (4)

Pertidaksamaan (4) merupakan pertidaksamaan kuadrat dengan salah satu ruasnya bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (4), diperoleh

$x^2+5x+4=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=5$ dan $pq=4$ adalah $p=1$ dan $q=4$. Didapat

$x^2+5x+4=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$

Artinya,

$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$ atau

$x+4=0\Leftrightarrow x=-4$

Karena pembuat nolnya adalah $-1$ dan $-4$ dengan $-4<-1$ serta tanda pertidaksamaan (4) adalah $\ge$ maka penyelesaian pertidaksamaan (4) adalah $x\le-4$ atau $x\ge-1$ . . . (5).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{x^2-x-6}\right)^2\le\left(\sqrt{x^2+5x+4}\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2-x-6\le x^2+5x+4$

$\Leftrightarrow x^2-x-6-x^2-5x-4\le0$

$\Leftrightarrow x^2-x^2-x-5x-6-4\le0$

$\Leftrightarrow -6x-10\le0$

$\Leftrightarrow-10\le6x$

$\Leftrightarrow\frac{-10}{6}\le x$

$\Leftrightarrow\frac{-5}{3}\le x$ . . . (6)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3), (5), dan (6). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi semua nilai $x$ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan pada soal adalah $x\ge3$