Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Pembahasan

Jika pertidaksamaan $3 - a x \leq 2$ memiliki solusi penyelesaian $a - 2 \leq x \leq 3$ , nilai dari $a^{2} - a$ adalah ....

E

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{3-ax}\le2$

Solusi penyelesaian $a-2\le x\le3$

Ditanya:

$a^2-a$ ?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\sqrt{3-ax}\le2$ ... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=3-ax$ dan $g\left(x\right)=2$ .

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $f\left(x\right)$ .

$f\left(x\right)\ge0$

⇔ $3-ax\ge0$ ... (2)

Setelah menyelesaikan tahap syarat akar, kita kuadratkan kedua ruas di pertidaksamaan awal, lalu mencari penyelesaiannya.

$\left(\sqrt{3-ax}\right)^2\le2^2$

⇔ $3-ax\le4$ ... (3)

Pertidaksamaan (2) dan (3) dapat kita gabungkan.

$0\le\ 3-ax\le4$

⇔ $-3\le-ax\le1$

Jika diasumsikan adalah bilangan positif, kita dapat bagi semua ruas dengan $-a$ . Tandanya juga harus dibalik karena kita membagi dengan bilangan negatif.

$\frac{3}{a}\ge x\ge-\frac{1}{a}$ ⇔ $-\frac{1}{a}\le x\le\frac{3}{a}$ ... (3)