Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-3x+24}{x^2-3x+3}<4$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2-3x+24}{x^2-3x+3}<4$ ... (1)

Agar pertidaksamaan (1) menjadi bentuk umum, kita lakukan tahap-tahap seperti di atas.

$\frac{x^2-3x+24}{x^2-3x+3}-4<0$

⇔ $\frac{x^2-3x+24-4\left(x^2-3x+3\right)}{x^2-3x+3}<0$

⇔ $\frac{x^2-3x+24-4x^2+12x-12}{x^2-3x+3}<0$

⇔ $\frac{-3x^2+9x+12}{x^2-3x+3}<0$

Bagi kedua ruas dengan $-3$ akan diperoleh:

⇔ $\frac{x^2-3x-4}{x^2-3x+3}>0$ ... (2) (tandanya berubah karena dikalikan dengan bilangan negatif)

Pertidaksamaan (2) telah sesuai dengan bentuk umum, dengan $f\left(x\right)=x^2-3x-4,\ g\left(x\right)=x^2-3x+3$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-3x-4=0$

Faktorkan ruas kiri:

⇔ $\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$

$x-4=0$ ⇔ $x=4$ atau

$x+1=0$ ⇔ $x=-1$

$g\left(x\right)=0$

⇔$\ x^2-3x+3=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=-3,\ c=3$.

$D=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi di fungsi $g\left(x\right)$.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $>$, kita cari hasil yang positif.

Pembuktian:

Pada rentang $x>4$ , kita gunakan $x=5$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{5^2-3\cdot5-4}{5^2-3\cdot5+3}>0$

⇔ $\frac{25-15-4}{25-15+3}>0$

⇔ $\frac{6}{13}>0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang tersebut memang benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi pertidaksamaan adalah $x<-1$ atau $x>4$.