Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\left(x-7\right)^2\left(x-9\right)>0$ . . .(*)

Pertidaksamaan tersebut pertidaksamaan pangkat tiga (perkalian antara bentuk kuadrat dengan bentuk linear). Penyelesaian pertidaksamaan tersebut serupa dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yaitu:

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol pertidaksamaan tersebut adalah

$\left(x-7\right)^2\left(x-9\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(x-7\right)\left(x-9\right)=0$ . . . (**)

Artinya

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ atau

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ atau

$x-9=0\Leftrightarrow x=9$

Karena $7=7$, maka hanya terdapat dua batas, yaitu $x=7$ dan $x=9$

Untuk $x<7$, diambil sebagai sampel $x=6$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\left(6-7\right)\left(6-7\right)\left(6-9\right)=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-3\right)=-3<0$ (bernilai negatif).

Untuk $7<x<9$, diambil sebagai sampel $x=8$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\left(8-7\right)\left(8-7\right)\left(8-9\right)=1.1.\left(-1\right)=-1<0$ (bernilai negatif).

Untuk $x>9$, diambil sebagai sampel $x=10$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\left(10-7\right)\left(10-7\right)\left(10-9\right)=3.3.1=9>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $>$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai postif.

Karena pertidaksamaan (*) tidak memuat sama dengan, maka $x=9$ tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $x>9$