Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Diketahui:

Kurva $y=x^2-20x+72$ terletak di bawah kurva $y=-x^2+8x-18$.

DItanya:

Nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Diketahui kurva $y=x^2-20x+72$ terletak di bawah kurva $y=-x^2+8x-18$ artinya

$x^2-20x+72<-x^2+8x-18$

$\Leftrightarrow x^2-20x+72+x^2-8x+18<0$

$\Leftrightarrow x^2+x^2-20x-8x+72+18<0$

$\Leftrightarrow 2x^2-28x+90<0$, kedua ruas dibagi dua menjadi

$\Leftrightarrow x^2-14x+45<0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (*) adalah

$x^2-14x+45=0$ . . . (**)

Nilai $a,\ b$ sehingga $a+b=-14$ dan $ab=45$ adalah $a=-9$ dan $b=-5$.

Akibatnya persamaan (**) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+a\right)\left(x+b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-9\right)\left(x-5\right)=0$ (***)

Artinya,

$x-9=0\Leftrightarrow x=9$ atau

$x-5=0\Leftrightarrow x=5$.

Untuk $x<5$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

$\left(0-9\right)\left(0-5\right)=\left(-9\right)\left(-5\right)=45>0$ (bernilai positif).

Untuk $5<x<9$, diambil sebagai sampel $x=6$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

$\left(6-9\right)\left(6-5\right)=\left(-3\right)\left(1\right)=-3<0$ (bernilai negatif).

Untuk $x>9$, diambil sebagai sampel $x=10$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

$\left(10-9\right)\left(10-5\right)=1.5=5>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $<$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena pertidaksamaan (*) tidak memuat sama dengan, maka $x=5$ dan $x=9$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*). Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $5<x<9$