Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Diketahui:

Pertidaksamaan $x^2\le 49$.

Ditanya:

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Dijawab:

Pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Pada soal diketahui pertidaksamaan $x^2\le49$. Atau dapat ditulis menjadi

$x^2-49\le0$

Akan dicari harga nol pertidaksamaan tersebut. Diperoleh

$x^2-49=0$

Perlu diingat, secara umum jika terdapat bentuk kuadrat $x^2-a^2$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-a\right)\left(x+a\right)$

Karena nilai $49=7^2$, maka diperoleh

$\left(x-7\right)\left(x+7\right)=0$

Artinya

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ atau

$x+7=0\Leftrightarrow x=-7$.

Untuk $x<-7$, diambil sebagai sampel $x=-8$ (dapat dipilih yang lain). Diperoleh

$\left(-8-7\right)\left(-8+7\right)=\left(-15\right)\left(-1\right)=15>0$ (bernilai positif)

Untuk $-7<x<7$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Diperoleh

$\left(0-7\right)\left(0+7\right)=\left(-7\right)\left(7\right)=-49<0$ (bernilai negatif)

Untuk $x>7$, diambil sebagai sampel $x=8$ (dapat dipilih yang lain). Diperoleh

$\left(8-7\right)\left(8+7\right)=1.15=15>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan tersebut memiliki tanda $\le0$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena memuat sama dengan, maka $x=-7$ dan $x=7$ juga memenuhi pertidaksamaan tersebut. Diperoleh nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $-7\le x\le7$