Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Semua nilai $x$ agar $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$ selalu negatif adalah ....

E

$-2< x<0$ atau $1< x<3$

Pembahasan:

Diketahui:

Polinomial rasional $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$

Ditanya:

Semua nilai $x$ agar polinomial yang diberikan bernilai negatif?

Jawab:

Perintah pada soal adalah mencari semua nilai $x$ agar $\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}$ selalu negatif. Dengan kata lain mencari semua nilai $x$ yang memenuhi

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}<0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x+2}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^3-4x^2+3x=0$ , berdasarkan sifat distributif didapat

$\Leftrightarrow x\left(x^2-4x+3\right)=0$

untuk $x^2-4x+3=0$ nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-4$ dan $pq=3$ adalah $p=-1$ dan $q=-3$ . Didapat

$x^2-4x+3=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

Sehingga untuk pembilang diperoleh

$x\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

Artinya

$x=0$ atau

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$ atau

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Untuk penyebut diperoleh

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$-2<0<1<3$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{x\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x+2}<0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $<$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai negatif dan semua pembuat nolnya bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x<-2$ , maka $x-1$ selalu negatif, $x-3$ selalu negatif, dan $x+2$ selalu negatif. Didapat