Bank Soal Matematika SMA Fungsi Trigonometri dan Bilangan Real

Diketahui:

$\sin\theta=\frac{5}{13}$ dengan $\frac{1}{2}\pi<\theta<\pi$ .

Ditanya:

Nilai dari $\cos\theta=?$

Dijawab:

Perlu diingat identitas pada trigonometri berikut:

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

$\Leftrightarrow\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$

Berdasarkan identitas trigonometri di atas diperoleh:

$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$

$\Leftrightarrow\cos^2\theta=1-\left(\frac{5}{13}\right)^2$

$\Leftrightarrow\cos^2\theta=1-\frac{25}{169}$

$\Leftrightarrow\cos^2\theta=\frac{169}{169}-\frac{25}{169}$

$\Leftrightarrow\cos^2\theta=\frac{144}{169}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\pm\frac{12}{13}$

Perlu diingat bahwa sistem koordinat kartesius dibagi menjadi empat kuadran, yaitu

Kuadran I: sudut $\theta$ dengan $0\degree<\theta<90\degree$

Kuadran II: sudut $\theta$ dengan $90\degree<\theta<180\degree$

Kuadran III: sudut $\theta$ dengan $180\degree<\theta<270\degree$

Kuadran IV: sudut $\theta$ dengan $270\degree<\theta<360\degree$

atau jika diilustrasikan dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut:

Kita ubah terlebih dahulu batas nilai $\theta$ ke dalam ukuran derajat.

Pengubahan ukuran radian ke dalam ukuran derajat adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

Untuk $\frac{1}{2}\pi$ diperoleh:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\frac{1}{2}\pi\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=90°$

Untuk $\pi$ diperoleh:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\pi\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=180°$

Karena $90\degree<\theta<180\degree$, maka sudut $\theta$ berada di kuadran II.

Nilai trigonometri $\left(\sin,\ \cos,\ \tan\right)$ yang bernilai positif pada keempat kuadran tersebut disajikan pada gambar berikut:

Pada kuadran II nilai $\cos\theta$ bernilai negatif, sehingga didapatkan:

$\cos\theta=-\frac{12}{13}$

Jadi, nilai dari $\cos\theta$ adalah $-\frac{12}{13}$.