Bank Soal Matematika SMA Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Diketahui:

$3\operatorname{cotan}\theta=2$

Ditanya:

$\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}\right)=?$

Jawab:

$3\operatorname{cotan}\theta=2$

$\Leftrightarrow\operatorname{cotan}\theta=\frac{2}{3}$

Cotangen sudut adalah kebalikan dari tangen sudut.

$\operatorname{cotan}\theta=\frac{1}{\tan\theta}$

$\Leftrightarrow\ \frac{2}{3}=\frac{1}{\tan\theta}$

$\Leftrightarrow\tan\theta=\frac{3}{2}$

Tangen sudut merupakan perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi samping atau dituliskan sebagai $\tan\theta=\frac{\text{De}}{\text{Sa}},$ sehingga ilustrasi segitiga siku-siku yang tepat adalah sebagai berikut.

dengan $x=$ panjang sisi samping, $y=$ panjang sisi depan, dan $r=$ panjang sisi miring. Oleh karena itu, $x=2$ dan $y=3$.

Menemukan panjang sisi yang belum diketahui.

Sisi miring dapat ditemukan dengan menggunakan dalil Pythagoras, yaitu

$r^2=x^2+y^2$

$\Leftrightarrow r^2=\left(2\right)^2+\left(3\right)^2$

$\Leftrightarrow r^2=4+9$

$\Leftrightarrow r^2=13$

$\Leftrightarrow r=\sqrt{13}$

Menemukan nilai $\sin\theta.$

Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan terhadap panjang sisi miring, sehingga

$\sin\theta=\frac{\text{De}}{\text{Mi}}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{y}{r}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$

Rasionalkan.

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{3}{\sqrt{13}}\times\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{3}{13}\sqrt{13}$

Menemukan nilai $\cos\theta.$

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping terhadap panjang sisi miring, sehingga

$\cos\theta=\frac{\text{Sa}}{\text{Mi}}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{x}{r}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{13}}$

Rasionalkan.

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{13}}\times\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{2}{13}\sqrt{13}$

Menemukan nilai $\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}\right).$

Substitusikan nilai $\sin\theta$ dan $\cos\theta$, sehingga

$\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}\right)=\left(\frac{\frac{3}{13}\sqrt{13}-\frac{2}{13}\sqrt{13}}{\frac{3}{13}\sqrt{13}+\frac{2}{13}\sqrt{13}}\right)$

$=\frac{\frac{1}{13}\sqrt{13}}{\frac{5}{13}\sqrt{13}}$

$=\frac{\frac{1}{13}}{\frac{5}{13}}$

$=\frac{1}{13}\times\frac{13}{5}$

$=\frac{1}{5}$

Jadi, nilai dari $\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}\right)$ adalah $\frac{1}{5}.$