Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

1 lusin lampu ada 12 buah lampu

Lampu tidak rusak $=10$

Lampu rusak $=2$

Banyak lampu yang diambil secara acak $=4$

$X$ menyatakan banyak lampu rusak yang terambil

Ditanya:

$P\left(X=2\right)=?$

Jawab:

Misalkan $x=$ banyak lampu rusak yang terambil, maka $\left(4-x\right)=$ banyak lampu tidak rusak yang terambil.

$P\left(X=2\right)$ berarti peluang terambilnya $2$ lampu rusak.

Sehingga, $x=2$ menyatakan banyak lampu rusak yang terambil dan $\left(4-2\right)=2$ menyatakan banyak lampu tidak rusak yang terambil.

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan prinsip kombinasi yaitu:

$C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

dengan $\ n\ge r$.

$n=$ unsur yang tersedia

$r=$ unsur yang diambil

Nilai dari $0!=1$.

Untuk lampu rusak

Kombinasi pengambilan $2$ lampu rusak dari $2$ lampu rusak yang tersedia adalah:

$C_2^2=\frac{2!}{\left(2-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{2!}{0!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{2!}{1\ \cdot\ 2!}$

$=1$

Untuk tidak rusak

Kombinasi pengambilan $2$ lampu tidak rusak dari $10$ lampu tidak rusak yang tersedia adalah:

$C_2^{10}=\frac{10!}{\left(10-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{10!}{8!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8!}{8!\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1}$

$=45$

Untuk pengambilan 4 lampu dari 12 lampu yang tersedia, seluruhnya ada:

$C_4^{12}=\frac{12!}{\left(12-4\right)!\ \cdot\ 4!}$

$=\frac{12!}{8!\ \cdot\ 4!}$

$=\frac{12\ \cdot\ 11\ \cdot\ 10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8!}{8!\ \cdot\ 4\ \cdot3\ \cdot\ 2\ \cdot1}$

$=495$

Peluang terambilnya 1 bola hitam adalah:

$P\left(X=2\right)=\frac{C_2^2\times C_2^{10}}{C_4^{12}}$

$=\frac{1\times45}{495}$

$=\frac{45}{495}$

$=\frac{1}{11}$

Jadi, $P\left(X=2\right)=\frac{1}{11}$.