Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$

$g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ dengan $a>0$

$\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}$

$h\left(x\right)=x-2$

Ditanya:

$\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=?$

Jawab:

Berikut langkah-langkah menyelesaikan soal di atas.

Mencari nilai $a$

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Diketahui $\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}$ maka

$f\left(g\left(2\right)\right)=-\frac{9}{5}$

Diketahui $g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ maka

$g\left(2\right)=\frac{a}{2+1}$

$=\frac{a}{3}$

Dengan demikian

$f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$ dan $f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$ maka

$f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\left(\frac{a}{3}\right)^2-1}=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\frac{a^2}{9}-1}=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\frac{a^2-9}{9}}=-\frac{9}{5}$

$\frac{9}{a^2-9}=-\frac{9}{5}$

Kalikan silang

$45=-9\left(a^2-9\right)$

$45=-9a^2+81$

$9a^2=36$

$a^2=4$

$a=\pm2$

Karena $a>0$ maka $a=2$

Mencari invers fungsi $g\left(x\right)$ atau $g^{-1}\left(x\right)$

Diketahui $g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ dan diperoleh $a=2$ maka

$g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}$

$y=\frac{2}{x+1}$

$y\left(x+1\right)=2$

$xy+y=2$

$xy=2-y$

$x=\frac{2-y}{y}$

$g^{-1}\left(x\right)=\frac{2-x}{x}$

Mencari invers fungsi $h\left(x\right)$ atau $h^{-1}\left(x\right)$

Diketahui $h\left(x\right)=x-2$ maka

$h\left(x\right)=x-2$

$y=x-2$

$y+2=x$

$h^{-1}\left(x\right)=x+2$

Mencari $\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)$

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan demikian,

$\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)$

$h^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=g^{-1}\left(x\right)+2$

$=\frac{2-x}{x}+2$

$=\frac{2-x+2x}{x}$

$=\frac{x+2}{x}$

Jadi, $\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{x+2}{x}$.