Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers pada Fungsi

Diketahui:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$

Ditanya:

$f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=?$

Jawab:

Perlu diingat definisi invers fungsi berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, $f\left(x\right)=y$, jika dan hanya jika $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Mencari fungsi $f\left(\frac{1}{x}\right)$

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$maka

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}$

$=\frac{\frac{1}{x}-\frac{x}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{x}{x}}$

$=\frac{\frac{1-x}{x}}{\frac{1+x}{x}}$

$=\frac{1-x}{x}\times\frac{x}{1+x}$

$=\frac{1-x}{1+x}$

Mencari invers fungsi $f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1-x}{1+x}$

$y=\frac{1-x}{1+x}$

$y\left(1+x\right)=1-x$

$y+xy=1-x$

$xy+x=1-y$

$x\left(y+1\right)=1-y$

$x=\frac{1-y}{1+y}$

$f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1-x}{1+x}$

$f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\left(x-1\right)}{1+x}$

Karena $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$ maka

$f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=-f\left(x\right)$

Jadi, $f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=-f\left(x\right)$.